כפל וחילוק בהצגה הקוטבית

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 10 מתוך 18לימוד

כפל וחילוק בהצגה הקוטבית

מכפלה בהצגה הקוטבית

במכפלה של שני מספרים בהצגה קוטבית הערכים המוחלטים נכפלים, והזוויות מתחברות:

\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]

ההוכחה שלפניכם פותחת סוגריים ומשתמשת בנוסחאות הסכום של זוויות:

$\displaystyle {(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}={(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)}$ .
החלק הממשי הוא $\displaystyle \cos(\theta_1+\theta_2)$ , והחלק המדומה הוא $\displaystyle \sin(\theta_1+\theta_2)$ .
נשאר לכפול ב- $\displaystyle r_1r_2$ .

דוגמה: $\displaystyle {3\operatorname{cis}\frac{\pi}{4}\cdot2\operatorname{cis}\frac{\pi}{12}}={6\operatorname{cis}\frac{\pi}{3}}={3+3\sqrt{3}i}$ .

מנה, הופכי וצמוד

חילוק הוא הפעולה ההפוכה לכפל, ולכן במנה הערכים המוחלטים מתחלקים והזוויות מתחסרות:

\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})

ההופכי: $\displaystyle {\frac{1}{r\operatorname{cis}\theta}}={\frac{1}{r}\operatorname{cis}(-\theta)}$ .
הצמוד: $\displaystyle {\overline{r\operatorname{cis}\theta}}={r\operatorname{cis}(-\theta)}$ – שיקוף ביחס לציר הממשי.
דוגמה: $\displaystyle {\frac{8\operatorname{cis}\frac{5\pi}{6}}{2\operatorname{cis}\frac{\pi}{3}}}={4\operatorname{cis}\frac{\pi}{2}}={4i}$ .

כפל כסיבוב ומתיחה

כפל של $\displaystyle z$ ב- $\displaystyle {w}={r\operatorname{cis}\theta}$ מוסיף $\displaystyle \theta$ לזווית של $\displaystyle z$ וכופל את המרחק שלו מראשית הצירים ב- $\displaystyle r$ . לכן במישור גאוס:

כפל ב- $\displaystyle \operatorname{cis}\theta$ הוא סיבוב של הנקודה סביב ראשית הצירים בזווית $\displaystyle \theta$ , נגד כיוון השעון.
כפל ב- $\displaystyle r>0$ ממשי הוא מתיחה פי $\displaystyle r$ (כיווץ, כש- $\displaystyle r<1$ ).
כפל ב- $\displaystyle {i}={\operatorname{cis}\frac{\pi}{2}}$ הוא סיבוב ברבע סיבוב: $\displaystyle {(4+i)\cdot i}={-1+4i}$ .

במערכת הצירים שלפניכם $\displaystyle {z}={4+i}$ , $\displaystyle {iz}={-1+4i}$ ו- $\displaystyle {i^2z}={-z}={-4-i}$ : כל כפל ב- $\displaystyle i$ מסובב ברבע סיבוב.

\displaystyle z=(4,1)

\displaystyle iz=(-1,4)

\displaystyle -z=(-4,-1)

\displaystyle x^{2}+y^{2}=17

סיבוב סביב נקודה

כדי לסובב את $\displaystyle z$ סביב נקודה $\displaystyle z_0$ בזווית $\displaystyle \theta$ : מסובבים את הווקטור מ- $\displaystyle z_0$ אל $\displaystyle z$ , ומוסיפים אותו ל- $\displaystyle z_0$ :

\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta

בדוגמה שלפניכם נמצא את הקודקודים $\displaystyle C$ ו- $\displaystyle D$ של הריבוע $\displaystyle ABCD$ , כש- $\displaystyle {A}={1+i}$ ו- $\displaystyle {B}={4+2i}$ והקודקודים בכיוון נגד השעון:

$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={B-A}={3+i}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{BC}$ הוא $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ מסובב ברבע סיבוב: $\displaystyle {(3+i)i}={-1+3i}$ .
$\displaystyle {C}={B+(-1+3i)}={3+5i}$ , ו- $\displaystyle {D}={A+(-1+3i)}={4i}$ .

תרגיל 1

חשבו, וכתבו את התוצאה בהצגה קוטבית.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

נתונים $\displaystyle {z_1}={1+i}$ ו- $\displaystyle {z_2}={1+\sqrt{3}i}$ .

כתבו את $\displaystyle z_1\cdot z_2$ בהצגה קוטבית.

כתבו את $\displaystyle z_1\cdot z_2$ בהצגה אלגברית.

השוו את החלקים הממשיים בשתי ההצגות, ומצאו את הערך המדויק של $\displaystyle \cos\frac{7\pi}{12}$ .

תרגיל 3

מצאו את הנקודה שמתקבלת, בהצגה אלגברית.

הנקודה $\displaystyle 3+i$ מסובבת סביב ראשית הצירים ברבע סיבוב נגד כיוון השעון.

הנקודה $\displaystyle 2\sqrt{3}+2i$ מסובבת סביב ראשית הצירים בזווית $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ .

הנקודה $\displaystyle 5+2i$ מסובבת סביב הנקודה $\displaystyle 1+i$ ברבע סיבוב נגד כיוון השעון.

תרגיל 4

$\displaystyle ABC$ משולש שווה צלעות, וקודקודיו בכיוון נגד השעון.
$\displaystyle {A}={2}$ ו- $\displaystyle {B}={6}$ .
מצאו את $\displaystyle C$ : סובבו את $\displaystyle B$ סביב $\displaystyle A$ בזווית $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ .

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$