ההצגה הקוטבית

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 18לימוד

ההצגה הקוטבית

הערך המוחלט והזווית

את הנקודה של $\displaystyle {z}={a+bi}$ במישור גאוס אפשר לתאר גם במרחק שלה מראשית הצירים, $\displaystyle {r}={|z|}$ , ובזווית $\displaystyle \theta$ שהווקטור שלה יוצר עם הכיוון החיובי של הציר הממשי (נגד כיוון השעון). במשולש ישר הזווית שהיתר שלו $\displaystyle r$ :

$\displaystyle {a}={r\cos\theta}$ ו- $\displaystyle {b}={r\sin\theta}$ .
לכן $\displaystyle {z}={r\cos\theta+ir\sin\theta}$ , וזו ההצגה הקוטבית (הטריגונומטרית) של $\displaystyle z$ :

\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

\displaystyle r=|z|>0

בקיצור כותבים $\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ – מ-cos, i, sin.
הזווית $\displaystyle \theta$ נקראת הארגומנט של $\displaystyle z$ , $\displaystyle \arg z$ . היא נקבעת עד כדי כפולה של $\displaystyle 2\pi$ : $\displaystyle {\operatorname{cis}\frac{\pi}{3}}={\operatorname{cis}\frac{7\pi}{3}}$ . בדרך כלל בוחרים $\displaystyle 0\le\theta<2\pi$ .
לאפס אין זווית, ולכן אין לו הצגה קוטבית.

הזוויות ברדיאנים, כמו בדף הנוסחאות. בכרטיסי הביטוי $\displaystyle \operatorname{cis}\frac{\pi}{3}$ נקרא ברדיאנים, ו- $\displaystyle \operatorname{cis}60^{\circ}$ – עם סימן המעלות – במעלות.

מההצגה האלגברית לקוטבית

$\displaystyle {r}={\sqrt{a^2+b^2}}$ , ו- $\displaystyle {\tan\theta}={\frac{b}{a}}$ . ל- $\displaystyle \tan\theta$ יש שתי זוויות בין $\displaystyle 0$ ל- $\displaystyle 2\pi$ , ולכן בוחרים לפי הרביע של הנקודה. בדוגמה שלפניכם נכתוב את $\displaystyle {z}={-1+\sqrt{3}i}$ בהצגה קוטבית:

$\displaystyle {r}={\sqrt{1+3}}={2}$ .
$\displaystyle {\tan\theta}={\frac{\sqrt{3}}{-1}}={-\sqrt{3}}$ : $\displaystyle {\theta}={\frac{2\pi}{3}}$ או $\displaystyle {\theta}={\frac{5\pi}{3}}$ .
הנקודה $\displaystyle (-1,\sqrt{3})$ ברביע השני, ולכן $\displaystyle {\theta}={\frac{2\pi}{3}}$ .
$\displaystyle {z}={2\operatorname{cis}\frac{2\pi}{3}}$ .

מספרים על הצירים בלי חישוב: $\displaystyle {1}={\operatorname{cis}0}$ , $\displaystyle {i}={\operatorname{cis}\frac{\pi}{2}}$ , $\displaystyle {-1}={\operatorname{cis}\pi}$ , $\displaystyle {-i}={\operatorname{cis}\frac{3\pi}{2}}$ .

מההצגה הקוטבית לאלגברית

מציבים את הערכים של $\displaystyle \cos\theta$ ושל $\displaystyle \sin\theta$ ופותחים סוגריים:

$\displaystyle {4\operatorname{cis}\frac{5\pi}{6}}={4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)}={-2\sqrt{3}+2i}$ .

בזווית שאין לה ערך מדויק מעגלים, ובמקום “=” כותבים “≈”. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {z}={3+4i}$ , ברביע הראשון:

$\displaystyle {r}={5}$ , ו- $\displaystyle {\theta}={\tan^{-1}\frac{4}{3}\approx0.927}$ .
$\displaystyle z\approx5\operatorname{cis}0.927$ .

זהירות: הצורה של ההצגה הקוטבית

בהצגה קוטבית $\displaystyle r$ חיובי, וב- $\displaystyle \cos$ וב- $\displaystyle \sin$ אותה זווית, עם $\displaystyle +$ ביניהם:

$\displaystyle -2\operatorname{cis}\frac{\pi}{3}$ אינו בהצגה קוטבית. $\displaystyle {-1}={\operatorname{cis}\pi}$ , ולכן הוא $\displaystyle 2\operatorname{cis}\frac{4\pi}{3}$ : סיבוב נוסף בחצי סיבוב.
$\displaystyle {\cos\theta-i\sin\theta}={\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)}={\operatorname{cis}(-\theta)}$ , כי $\displaystyle \cos$ זוגית ו- $\displaystyle \sin$ אי־זוגית.

תרגיל 1

כתבו בהצגה קוטבית. הזווית ברדיאנים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

כתבו בהצגה אלגברית.

תרגיל 3

כתבו בהצגה קוטבית: $\displaystyle r$ חיובי, ואותה זווית ב- $\displaystyle \cos$ וב- $\displaystyle \sin$ עם $\displaystyle +$ .

תרגיל 4

כתבו בהצגה קוטבית בקירוב: עגלו את הזווית לשלוש ספרות אחרי הנקודה, וכתבו “≈”.

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$