דלג לתוכן

תרגול: ההצגה הקוטבית ומשפט דה־מואבר

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 18תרגול

תרגול: ההצגה הקוטבית ומשפט דה־מואבר

1

כתבו בהצגה קוטבית.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        2

        נתונים z1=2cis⁡5π12\displaystyle {z_1}={2\operatorname{cis}\frac{5\pi}{12}} ו-z2=4cis⁡π4\displaystyle {z_2}={4\operatorname{cis}\frac{\pi}{4}}.
        כתבו בהצגה אלגברית.

        א

        z1⋅z2\displaystyle z_1\cdot z_2

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          z2z1\displaystyle \frac{z_2}{z_1}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            z16\displaystyle z_1^6

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              3

              חשבו, וכתבו את התוצאה בהצגה אלגברית.

              א

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    4

                    OABC\displaystyle OABC ריבוע, וקודקודיו בכיוון נגד השעון. O\displaystyle O ראשית הצירים, ו-A=3+4i\displaystyle {A}={3+4i}.
                    מצאו את C\displaystyle C ואת B\displaystyle B.

                    א

                    C\displaystyle C

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב

                      B\displaystyle B

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        5

                        נתון z=cis⁡θ\displaystyle {z}={\operatorname{cis}\theta}, כש-0<θ<π2\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}.

                        א

                        הראו ש-z+1z=2cos⁡θ\displaystyle {z+\frac{1}{z}}={2\cos\theta} ו-z−1z=2isin⁡θ\displaystyle {z-\frac{1}{z}}={2i\sin\theta}.

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          ב

                          הביעו את zn+1zn\displaystyle z^n+\frac{1}{z^n} בעזרת n\displaystyle n ו-θ\displaystyle \theta, לכל n\displaystyle n טבעי.

                          6

                          שלושה ריבועים חופפים, שאורך הצלע של כל אחד 1, מונחים זה ליד זה בשורה.
                          A\displaystyle A הקודקוד השמאלי התחתון של הריבוע הראשון, ו-B\displaystyle B הקודקוד הימני התחתון של הריבוע השלישי.
                          C\displaystyle C, D\displaystyle D ו-E\displaystyle E הקודקודים העליונים הימניים של הריבוע השלישי, השני והראשון.
                          ∠CAB=γ\displaystyle {\angle CAB}={\gamma}, ∠DAB=β\displaystyle {\angle DAB}={\beta}, ∠EAB=α\displaystyle {\angle EAB}={\alpha}.
                          הוכיחו: α+β+γ=π2\displaystyle {\alpha+\beta+\gamma}={\frac{\pi}{2}}.
                          רמז: שימו את A\displaystyle A בראשית הצירים. אילו מספרים מרוכבים הם C\displaystyle C, D\displaystyle D, E\displaystyle E? מה המכפלה שלהם?

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה