תרגול: שורשים, מקומות גאומטריים וגאומטריה

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 17 מתוך 18תרגול

תרגול: שורשים, מקומות גאומטריים וגאומטריה

פתרו. הזוויות ברדיאנים.

$\displaystyle 2i$ הוא אחד הקודקודים של משולש שווה צלעות שמרכזו בראשית הצירים.

מצאו משוואה מהצורה $\displaystyle {z^3}={w}$ שהפתרונות שלה הם קודקודי המשולש.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את שני הקודקודים האחרים.

$\displaystyle \omega$ שורש יחידה מסדר 5, $\displaystyle \omega\neq1$ .
הוכיחו: $\displaystyle {1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4}={0}$ , וחשבו את $\displaystyle (1+\omega)(1+\omega^2)(1+\omega^3)(1+\omega^4)$ .
רמז: $\displaystyle {\omega^5}={1}$ , ופתחו סוגריים בזוגות $\displaystyle (1+\omega)(1+\omega^4)$ ו- $\displaystyle (1+\omega^2)(1+\omega^3)$ .

המכפלה

ההוכחה

כתבו את המקום הגאומטרי כמשוואה ב- $\displaystyle x$ וב- $\displaystyle y$ .
$\displaystyle {|z-4|}={|z+2i|}$

כתבו את המקום הגאומטרי כמשוואה ב- $\displaystyle x$ וב- $\displaystyle y$ , ומצאו את המרכז ואת הרדיוס.
$\displaystyle {|z-3i|}={2|z|}$

הרדיוס

המרכז

כתבו את התחום כאי־שוויון ב- $\displaystyle x$ וב- $\displaystyle y$ .
$\displaystyle |z+2-i|>1$

$\displaystyle z$ נע על המעגל $\displaystyle {|z|}={1}$ .
על איזה מקום גאומטרי נע $\displaystyle {w}={3z+2-i}$ ? כתבו אותו כמשוואה ב- $\displaystyle x$ וב- $\displaystyle y$ .
רמז: $\displaystyle {z}={\frac{w-2+i}{3}}$ , ו- $\displaystyle {|z|}={1}$ .

\displaystyle x^{2}+y^{2}=1

$\displaystyle ABCDEF$ משושה משוכלל שמרכזו בראשית הצירים, וקודקודיו בכיוון נגד השעון. $\displaystyle {A}={3+\sqrt{3}i}$ .
מצאו את $\displaystyle B$ ואת $\displaystyle D$ בהצגה אלגברית.

$\displaystyle B$

$\displaystyle D$

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$