דלג לתוכן

חזרה: מספרים מרוכבים

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 18 מתוך 18תרגול

חזרה: מספרים מרוכבים

1

נתון w=1+i1−i\displaystyle {w}={\frac{1+i}{1-i}}.

א

כתבו את w\displaystyle w בהצגה אלגברית.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את w2027\displaystyle w^{2027}.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      פתרו את המשוואה z2=w\displaystyle {z^2}={w}.

        2

        z1\displaystyle z_1 ו-z2\displaystyle z_2 הם הפתרונות של המשוואה z2−4z+8=0\displaystyle {z^2-4z+8}={0}, ו-Im⁡(z1)>0\displaystyle \operatorname{Im}(z_1)>0.
        A\displaystyle A ו-B\displaystyle B הן הנקודות של z1\displaystyle z_1 ושל z2\displaystyle z_2 במישור גאוס, ו-O\displaystyle O ראשית הצירים.

        א

        פתרו את המשוואה.

          ב

          כתבו את z1\displaystyle z_1 בהצגה קוטבית.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            איזה משולש הוא OAB\displaystyle OAB? נמקו בעזרת ההצגה הקוטבית של z1\displaystyle z_1 ושל z2\displaystyle z_2, וחשבו את השטח שלו.

            השטח

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              סוג המשולש
              3

              נתון z=−4+43i\displaystyle {z}={-4+4\sqrt{3}i}.

              א

              כתבו את z\displaystyle z בהצגה קוטבית.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                חשבו את z3\displaystyle z^3.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  פתרו את המשוואה u3=z\displaystyle {u^3}={z}, ותארו את הפתרונות במישור גאוס.

                    4

                    נתונים שני מקומות גאומטריים במישור גאוס:
                    ∣z−2i∣=∣z+4∣\displaystyle {|z-2i|}={|z+4|}
                    ∣z∣=3\displaystyle {|z|}={3}

                    א

                    כתבו את שני המקומות כמשוואות ב-x\displaystyle x וב-y\displaystyle y.

                    ב

                    מצאו את נקודות החיתוך של שני המקומות, וכתבו אותן כמספרים מרוכבים.

                      5

                      z\displaystyle z מספר מרוכב, ∣z∣=1\displaystyle {|z|}={1} ו-z≠−1\displaystyle z\neq-1.
                      הוכיחו ש-z−1z+1\displaystyle \frac{z-1}{z+1} מדומה טהור או 0.
                      רמז: zˉ=1z\displaystyle {\bar{z}}={\frac{1}{z}}. הראו שהצמוד של z−1z+1\displaystyle \frac{z-1}{z+1} שווה לנגדי שלו.