שורשים מסדר n

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 14 מתוך 18לימוד

שורשים מסדר n

הפתרונות של

\displaystyle {z^n}={w}

כמו בשורשי היחידה, מציבים $\displaystyle {z}={r\operatorname{cis}\theta}$ במשוואה $\displaystyle {z^n}={R\operatorname{cis}\varphi}$ :

$\displaystyle {r^n\operatorname{cis}n\theta}={R\operatorname{cis}\varphi}$ , ולכן $\displaystyle {r^n}={R}$ ו- $\displaystyle {n\theta}={\varphi+2k\pi}$ .
$\displaystyle {r}={\sqrt[n]{R}}$ ו- $\displaystyle {\theta}={\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}}$ .

\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]

\displaystyle k=0,1,\ldots,n-1

למשוואה יש $\displaystyle n$ פתרונות שונים, כולם על מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו $\displaystyle \sqrt[n]{R}$ .
הזווית בין שני פתרונות סמוכים היא $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ : הם קודקודי מצולע משוכלל, מסובב בזווית $\displaystyle \frac{\varphi}{n}$ .

דוגמה פתורה:

\displaystyle {z^3}={8i}

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {z^3}={8i}$ :

$\displaystyle {8i}={8\operatorname{cis}\frac{\pi}{2}}$ : $\displaystyle {R}={8}$ , $\displaystyle {\varphi}={\frac{\pi}{2}}$ , $\displaystyle {n}={3}$ .
$\displaystyle {\sqrt[3]{8}}={2}$ , ו- $\displaystyle {\theta}={\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}}$ .
$\displaystyle {k}={0}$ : $\displaystyle {2\operatorname{cis}\frac{\pi}{6}}={\sqrt{3}+i}$ .
$\displaystyle {k}={1}$ : $\displaystyle {2\operatorname{cis}\frac{5\pi}{6}}={-\sqrt{3}+i}$ .
$\displaystyle {k}={2}$ : $\displaystyle {2\operatorname{cis}\frac{3\pi}{2}}={-2i}$ .

שלושת הפתרונות הם קודקודי משולש שווה צלעות במעגל שרדיוסו 2, כמו במערכת הצירים שלפניכם.

\displaystyle x^{2}+y^{2}=4

\displaystyle z_0=(1.732,1)

\displaystyle z_1=(-1.732,1)

\displaystyle z_2=(0,-2)

מכל שורש אל כל השורשים

אם $\displaystyle z_0$ פתרון של $\displaystyle {z^n}={w}$ , כל הפתרונות הם $\displaystyle z_0$ כפול שורשי היחידה מסדר $\displaystyle n$ : $\displaystyle {(z_0\omega^k)^n}={z_0^n\cdot(\omega^n)^k}={w}$ . במישור גאוס – $\displaystyle z_0$ מסובב שוב ושוב בזווית $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ .

$\displaystyle 1+i$ פתרון של $\displaystyle {z^4}={w}$ , ולכן $\displaystyle {w}={(1+i)^4}={-4}$ .
שורשי היחידה מסדר 4 הם $\displaystyle 1$ , $\displaystyle i$ , $\displaystyle -1$ , $\displaystyle -i$ , ולכן הפתרונות: $\displaystyle 1+i$ , $\displaystyle -1+i$ , $\displaystyle -1-i$ , $\displaystyle 1-i$ .

תרגיל 1

פתרו. כתבו כל פתרון בהצגה אלגברית או קוטבית, הזוויות ברדיאנים.

תרגיל 2

$\displaystyle \sqrt{3}-i$ הוא פתרון של המשוואה $\displaystyle {z^6}={w}$ .

מצאו את $\displaystyle w$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את שאר הפתרונות.

תרגיל 3

הפתרונות של $\displaystyle {z^6}={64}$ הם קודקודי משושה משוכלל.
חשבו את השטח של המשושה: הוא מורכב משישה משולשים שווי צלעות שהצלע שלהם היא רדיוס המעגל.

תרגיל 4

הפתרונות של $\displaystyle {(z-2i)^4}={81}$ הם קודקודי ריבוע.
מצאו את מרכז הריבוע ואת קודקודיו: הציבו $\displaystyle {u}={z-2i}$ .

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$