שורשי היחידה

הפתרונות של $\displaystyle {z^n}={1}$ נקראים שורשי היחידה מסדר $\displaystyle n$. ההצגה הקוטבית מוצאת את כולם: נציב $\displaystyle {z}={r\operatorname{cis}\theta}$ ונשתמש במשפט דה־מואבר.

• $\displaystyle {r^n\operatorname{cis}n\theta}={1\operatorname{cis}0}$.
• הערכים המוחלטים שווים: $\displaystyle {r^n}={1}$, ו-$\displaystyle r>0$, ולכן $\displaystyle {r}={1}$.
• הזוויות שוות עד כדי כפולה של $\displaystyle 2\pi$: $\displaystyle {n\theta}={2k\pi}$, כלומר $\displaystyle {\theta}={\frac{2k\pi}{n}}$.
• $\displaystyle {k}={0,1,\ldots,n-1}$ נותנים $\displaystyle n$ מספרים שונים; $\displaystyle {k}={n}$ נותן שוב את $\displaystyle {\operatorname{cis}2\pi}={1}$.

כל שורשי היחידה על מעגל היחידה, $\displaystyle {|z|}={1}$, והזווית בין שני שורשים סמוכים היא $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$. לכן הם הקודקודים של מצולע משוכלל בעל $\displaystyle n$ צלעות, שאחד מקודקודיו ב-1.

במערכת הצירים שלפניכם ששת שורשי היחידה מסדר 6 – קודקודי משושה משוכלל: $\displaystyle \operatorname{cis}\frac{k\pi}{3}$, כלומר $\displaystyle \pm1$ ו-$\displaystyle \pm\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

נסמן $\displaystyle {\omega}={\operatorname{cis}\frac{2\pi}{n}}$. לפי משפט דה־מואבר $\displaystyle {z_k}={\omega^k}$, ולכן:

• שורשי היחידה הם סדרה הנדסית: $\displaystyle 1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}$, והמנה שלה $\displaystyle \omega$.
• הסכום שלהם 0 (כש-$\displaystyle n\geq2$): לפי נוסחת הסכום של סדרה הנדסית, $\displaystyle {\frac{\omega^n-1}{\omega-1}}={\frac{1-1}{\omega-1}}={0}$.
• הם באים בזוגות צמודים: $\displaystyle {\bar{\omega}^k}={\omega^{n-k}}$ – המצולע סימטרי ביחס לציר הממשי.
• המכפלה שלהם היא $\displaystyle {\operatorname{cis}\frac{2\pi(0+1+\ldots+(n-1))}{n}}={\operatorname{cis}(n-1)\pi}$: $\displaystyle 1$ כש-$\displaystyle n$ אי־זוגי, $\displaystyle -1$ כש-$\displaystyle n$ זוגי.

פתרו. כתבו כל פתרון בהצגה אלגברית או קוטבית.

פתרו את $\displaystyle {z^3-1}={0}$ בפירוק לגורמים: $\displaystyle {z^3-1}={(z-1)(z^2+z+1)}$.
בדקו שקיבלתם את הפתרונות של תרגיל 1, סעיף א.

$\displaystyle {\omega}={\operatorname{cis}\frac{2\pi}{3}}$. חשבו.

שורשי היחידה מסדר 4 הם קודקודי ריבוע.
חשבו את אורך הצלע של הריבוע ואת השטח שלו.

הוכיחו שהסכום של ריבועי שורשי היחידה מסדר $\displaystyle n$ הוא 0, כש-$\displaystyle n\geq3$.
רמז: גם הריבועים הם סדרה הנדסית.