שורש ריבועי ומשוואה ריבועית

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 18לימוד

שורש ריבועי ומשוואה ריבועית

השורשים הריבועיים של מספר מרוכב

לכל מספר מרוכב $\displaystyle w\neq0$ יש שני שורשים ריבועיים – שני פתרונות למשוואה $\displaystyle {z^2}={w}$ , נגדיים זה לזה. מוצאים אותם בהצבה $\displaystyle {z}={a+bi}$ . בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {z^2}={5-12i}$ :

$\displaystyle {(a+bi)^2}={a^2-b^2+2abi}$ , ולכן $\displaystyle {a^2-b^2}={5}$ ו- $\displaystyle {2ab}={-12}$ .
גם הערכים המוחלטים שווים: $\displaystyle {|z|^2}={|w|}$ , כלומר $\displaystyle {a^2+b^2}={\sqrt{25+144}}={13}$ .
מחיבור המשוואה הראשונה והשלישית: $\displaystyle {2a^2}={18}$ , ולכן $\displaystyle {a}={\pm3}$ .
מ- $\displaystyle {2ab}={-12}$ : כש- $\displaystyle {a}={3}$ , $\displaystyle {b}={-2}$ ; כש- $\displaystyle {a}={-3}$ , $\displaystyle {b}={2}$ .
השורשים: $\displaystyle {z}={3-2i}$ או $\displaystyle {z}={-3+2i}$ .

משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים

נוסחת השורשים נכונה גם במספרים המרוכבים. כשהמקדמים ממשיים והדיסקרימיננטה שלילית, $\displaystyle {\sqrt{\Delta}}={i\sqrt{-\Delta}}$ , והפתרונות הם שני מספרים צמודים. בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {z^2+2z+5}={0}$ :

$\displaystyle {\Delta}={4-20}={-16}$ , ו- $\displaystyle {\sqrt{-16}}={4i}$ .
$\displaystyle {z}={\frac{-2\pm4i}{2}}$ , כלומר $\displaystyle {z}={-1+2i}$ או $\displaystyle {z}={-1-2i}$ .

לכן במספרים המרוכבים לכל משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים יש שני פתרונות: שני פתרונות ממשיים (אולי שווים), או שני פתרונות צמודים.

דוגמה פתורה: מקדמים מרוכבים

כשהמקדמים מרוכבים, גם הדיסקרימיננטה מרוכבת, ואת השורש שלה מוצאים כמו בתחילת השיעור. בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {z^2-(3+i)z+4+3i}={0}$ :

$\displaystyle {\Delta}={(3+i)^2-4(4+3i)}={8+6i-16-12i}={-8-6i}$ .
שורש של $\displaystyle -8-6i$ : $\displaystyle {a^2-b^2}={-8}$ , $\displaystyle {2ab}={-6}$ , $\displaystyle {a^2+b^2}={10}$ , ולכן $\displaystyle {a}={\pm1}$ ו- $\displaystyle {\sqrt{\Delta}}={1-3i}$ (או הנגדי שלו).
$\displaystyle {z}={\frac{3+i\pm(1-3i)}{2}}$ , כלומר $\displaystyle {z}={2-i}$ או $\displaystyle {z}={1+2i}$ .

כאן הפתרונות אינם צמודים: הפתרונות באים בזוגות צמודים רק כשהמקדמים ממשיים.

משוואה לפי הפתרונות שלה

אם $\displaystyle z_1$ ו- $\displaystyle z_2$ הם הפתרונות של $\displaystyle {z^2+bz+c}={0}$ , אז $\displaystyle {z^2+bz+c}={(z-z_1)(z-z_2)}$ , ומפתיחת הסוגריים:

\displaystyle z_{1}+z_{2}

\displaystyle =

\displaystyle -b

\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}

\displaystyle =

\displaystyle c

בדוגמה שלפניכם נבנה משוואה עם מקדמים ממשיים שאחד מהפתרונות שלה הוא $\displaystyle 1+i$ :

המקדמים ממשיים, ולכן גם $\displaystyle 1-i$ פתרון.
$\displaystyle {z_1+z_2}={2}$ ו- $\displaystyle {z_1z_2}={1+1}={2}$ .
המשוואה: $\displaystyle {z^2-2z+2}={0}$ .

תרגיל 1

מצאו את השורשים הריבועיים של $\displaystyle -8+6i$ .
הציבו $\displaystyle {z}={a+bi}$ ב- $\displaystyle {z^2}={-8+6i}$ : פתרו את המערכת של $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ .

תרגיל 2

פתרו.

תרגיל 3

פתרו בנוסחת השורשים.

תרגיל 4

$\displaystyle 3-2i$ הוא פתרון של המשוואה $\displaystyle {z^2+bz+c}={0}$ , כש- $\displaystyle b$ ו- $\displaystyle c$ ממשיים.
מצאו את $\displaystyle b$ , את $\displaystyle c$ ואת הפתרון השני.

\displaystyle b

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle c

הפתרון השני

תרגיל 5

$\displaystyle 2+i$ הוא פתרון של המשוואה $\displaystyle {z^2-(3+2i)z+c}={0}$ .
מצאו את $\displaystyle c$ ואת הפתרון השני: השתמשו בסכום הפתרונות.

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$