שטחים והצטברות

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 21 מתוך 23לימוד

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה-

\displaystyle x

כשהגרף של $\displaystyle f$ מעל ציר ה- $\displaystyle x$ בתחום $\displaystyle a\le x\le b$ , השטח בין הגרף לציר הוא האינטגרל המסוים $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ . בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={2^x}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={0}$ ו- $\displaystyle {x}={2}$ :

\displaystyle f(x)=2^{x}

S=\int_0^2 2^x\,dx=\left[\frac{2^x}{\ln2}\right]_0^2=\frac{4-1}{\ln2}=\frac{3}{\ln2}\approx4.33

פונקציה שמחליפה סימן

כשהגרף מתחת לציר ה- $\displaystyle x$ , האינטגרל שלילי, והשטח הוא האינטגרל של $\displaystyle -f(x)$ . כשהפונקציה מחליפה סימן בתחום, מחלקים את התחום בנקודת האפס שלה ומחשבים כל חלק לחוד. בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={e^x-2}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={0}$ ו- $\displaystyle {x}={\ln4}$ :

\displaystyle f(x)=e^{x}-2

נקודת האפס: $\displaystyle {e^x-2}={0}$ , כלומר $\displaystyle {e^x}={2}$ ו- $\displaystyle {x}={\ln2}$ .
בין 0 ל- $\displaystyle \ln2$ הגרף מתחת לציר: $\displaystyle {\int_0^{\ln2}\left(2-e^x\right)dx}={\left[2x-e^x\right]_0^{\ln2}}={(2\ln2-2)-(0-1)}={2\ln2-1}$ .
בין $\displaystyle \ln2$ ל- $\displaystyle \ln4$ הגרף מעל הציר: $\displaystyle {\int_{\ln2}^{\ln4}\left(e^x-2\right)dx}={\left[e^x-2x\right]_{\ln2}^{\ln4}}={(4-2\ln4)-(2-2\ln2)}={2-2\ln2}$ .
השטח כולו: $\displaystyle {(2\ln2-1)+(2-2\ln2)}={1}$ .

שטח בין שני גרפים

השטח בין שני גרפים בתחום שבו $\displaystyle f(x)\ge g(x)$ :

\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx

בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={e^x}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={e^{-x}}$ והישר $\displaystyle {x}={1}$ :

\displaystyle f(x)=e^{x}

\displaystyle g(x)=e^{-x}

\displaystyle x=1

נקודת החיתוך: $\displaystyle {e^x}={e^{-x}}$ נותן $\displaystyle {x}={-x}$ , כלומר $\displaystyle {x}={0}$ .
בתחום $\displaystyle 0\le x\le1$ : $\displaystyle e^x\ge e^{-x}$ .
השטח:

S=\int_0^1\left(e^x-e^{-x}\right)dx=\left[e^x+e^{-x}\right]_0^1=\left(e+\frac{1}{e}\right)-2\approx1.09

שטח מורכב

כשהגבול העליון של השטח מתחלף מגרף אחד לגרף אחר, מחלקים את השטח בנקודה שבה הם נחתכים. בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={e^x}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={e^{2-x}}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={0}$ ו- $\displaystyle {x}={2}$ :

\displaystyle f(x)=e^{x}

\displaystyle g(x)=e^{2-x}

נקודת החיתוך: $\displaystyle {e^x}={e^{2-x}}$ נותן $\displaystyle {x}={2-x}$ , כלומר $\displaystyle {x}={1}$ .
בין 0 ל-1 השטח מתחת לגרף של $\displaystyle f$ : $\displaystyle {\int_0^1e^x\,dx}={e-1}$ .
בין 1 ל-2 השטח מתחת לגרף של $\displaystyle g$ : $\displaystyle {\int_1^2e^{2-x}\,dx}={\left[-e^{2-x}\right]_1^2}={-1+e}={e-1}$ .
השטח כולו: $\displaystyle {2(e-1)}={2e-2\approx3.44}$ .

כמות מצטברת לפי קצב

כשפונקציה מתארת קצב – כמות ליחידת זמן – האינטגרל שלה בין שני זמנים הוא הכמות שהצטברה ביניהם. בדוגמה שלפניכם נחשב כמה זהב הופק בעולם:

הזמן $\displaystyle t$ נמדד בשנים, ו- $\displaystyle {t}={0}$ הוא סוף שנת 2000.
הפונקציה $\displaystyle {p(t)}={2500e^{0.006t}}$ היא מודל לקצב הפקת הזהב בעולם, בטונות לשנה.
בסוף שנת 2000 הקצב היה $\displaystyle {p(0)}={2500}$ טונות לשנה.
בשנת 2001 הופקו:

\int_0^1 2500e^{0.006t}\,dt=\left[\frac{2500}{0.006}e^{0.006t}\right]_0^1=\frac{2500}{0.006}\left(e^{0.006}-1\right)\approx2507.5

הקצב עלה במשך השנה, ולכן הכמות קצת יותר מ-2500 טונות.
בעשר השנים 2001–2010 הופקו $\displaystyle {\int_0^{10}2500e^{0.006t}\,dt}={\frac{2500}{0.006}\left(e^{0.06}-1\right)\approx25{,}765}$ טונות.

פונקציית ההצטברות של

\displaystyle \frac{1}{t}

בכיתה י"א למדתם שפונקציית הצטברות השטח $\displaystyle {F(x)}={\int_a^x f(t)\,dt}$ היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f$ : $\displaystyle {F'(x)}={f(x)}$ . פונקציית ההצטברות של $\displaystyle \frac{1}{t}$ מ-1 היא הלוגריתם הטבעי:

F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt=\left[\ln t\right]_1^x=\ln x-\ln1=\ln x

על הגרף: השטח מתחת ל- $\displaystyle \frac{1}{x}$ בין 1 ל- $\displaystyle x$ הוא הגובה של $\displaystyle \ln x$ באותו $\displaystyle x$ .

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}

\displaystyle g(x)=\ln x

$\displaystyle {\ln e}={1}$ : השטח מתחת ל- $\displaystyle \frac{1}{x}$ בין 1 ל- $\displaystyle e$ הוא 1.
כש- $\displaystyle 0<x<1$ הגבול העליון קטן מ-1, האינטגרל שלילי, וגם $\displaystyle \ln x<0$ .
$\displaystyle {F'(x)}={\frac{1}{x}>0}$ , ולכן $\displaystyle \ln x$ עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

תרגיל 1

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{2}{x}}$ , ציר ה- $\displaystyle x$ והישרים $\displaystyle {x}={1}$ ו- $\displaystyle {x}={e^2}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={e^x-e}$ .

סמנו את נקודת האפס של הפונקציה.

\displaystyle f(x)=e^{x}-e

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה- $\displaystyle x$ וציר ה- $\displaystyle y$ .

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה- $\displaystyle x$ והישר $\displaystyle {x}={2}$ .

חשבו את השטח המסומן כולו, בין $\displaystyle {x}={0}$ ל- $\displaystyle {x}={2}$ .

תרגיל 3

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={\frac{4}{x}}$ ו- $\displaystyle {g(x)}={5-x}$ , בתחום $\displaystyle x>0$ .

מצאו את שיעורי ה- $\displaystyle x$ של נקודות החיתוך של שני הגרפים.

חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.

\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}

\displaystyle g(x)=5-x

תרגיל 4

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={e^{2x}}$ ו- $\displaystyle {g(x)}={3e^x-2}$ .

מצאו את שיעורי ה- $\displaystyle x$ של נקודות החיתוך של שני הגרפים.
הציבו $\displaystyle {t}={e^x}$ .

בין נקודות החיתוך הגרף של $\displaystyle g$ מעל הגרף של $\displaystyle f$ .
חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.

\displaystyle f(x)=e^{2x}

\displaystyle g(x)=3e^{x}-2

תרגיל 5

מים זורמים לתוך מכל בקצב $\displaystyle {r(t)}={20e^{-0.1t}}$ ליטרים לדקה.
$\displaystyle t$ הוא הזמן בדקות מרגע פתיחת הברז, והמכל ריק כשפותחים אותו.

כמה ליטרים זורמים למכל ב-10 הדקות הראשונות?
כתבו תוצאה מדויקת, ובשורה נוספת עגלו אותה לעשירית.

אחרי $\displaystyle t$ דקות זרמו למכל $\displaystyle 200-200e^{-0.1t}$ ליטרים.
אחרי כמה דקות יהיו במכל 100 ליטרים?

תרגיל 6

נתונה פונקציית ההצטברות $\displaystyle {F(x)}={\int_1^x\frac{2}{t}\,dt}$ , בתחום $\displaystyle x>0$ .

חשבו את $\displaystyle F(x)$ .

$\displaystyle {F(x)}={2\ln x}$ .
מצאו את $\displaystyle x$ שבו $\displaystyle {F(x)}={4}$ .

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$