חקירה משולבת ומשפחות של פונקציות

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\frac{e^x}{e^x+1}}$ – פונקציה רציונלית של $\displaystyle e^x$:

• תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$, כי $\displaystyle e^x+1>0$.
• $\displaystyle 0<e^x<e^x+1$, ולכן $\displaystyle 0<f(x)<1$ לכל $\displaystyle x$.
• כש-$\displaystyle x\to-\infty$, $\displaystyle e^x\to0$ ו-$\displaystyle f(x)\to0$: אסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$ בצד שמאל.
• כש-$\displaystyle x\to\infty$, $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{1+e^{-x}}\to1}$: אסימפטוטה $\displaystyle {y}={1}$ בצד ימין.
• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{e^x(e^x+1)-e^x\cdot e^x}{(e^x+1)^2}}={\frac{e^x}{(e^x+1)^2}>0}$: הפונקציה עולה בכל התחום, בלי נקודות קיצון.
• $\displaystyle {f''(x)}={\frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}}$, והסימן שלה הוא הסימן של $\displaystyle 1-e^x$.

• כש-$\displaystyle x<0$, $\displaystyle e^x<1$ ו-$\displaystyle f''(x)>0$ – קעורה כלפי מעלה; כש-$\displaystyle x>0$, $\displaystyle f''(x)<0$ – קעורה כלפי מטה.
• נקודת פיתול: $\displaystyle \left(0,\frac{1}{2}\right)$ – שם הפונקציה עולה הכי מהר.

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{e^x-1}}$:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle e^x-1\geq0$, כלומר $\displaystyle e^x\geq1$ ו-$\displaystyle x\geq0$.
• $\displaystyle {f(0)}={0}$: הגרף מתחיל בראשית.
• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}}>0}$ כש-$\displaystyle x>0$: הפונקציה עולה בכל התחום, ונקודת הקצה $\displaystyle (0,0)$ היא נקודת מינימום.
• כש-$\displaystyle x\to0^+$, המכנה שואף ל-0 והמונה ל-1, ולכן $\displaystyle f'(x)\to\infty$: הגרף יוצא מהראשית בכיוון אנכי, והמשיק שם הוא ציר ה-$\displaystyle y$.
• כש-$\displaystyle x\to\infty$, $\displaystyle f(x)\to\infty$: אין אסימפטוטה אופקית.

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\frac{\ln x}{\sqrt{x}}}$:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle x>0$. חיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle (1,0)$.
• כש-$\displaystyle x\to0^+$, $\displaystyle \ln x\to-\infty$ ו-$\displaystyle \sqrt{x}\to0^+$, ולכן $\displaystyle f(x)\to-\infty$: אסימפטוטה אנכית $\displaystyle {x}={0}$.
• כש-$\displaystyle x\to\infty$, $\displaystyle \ln x$ גדלה לאט יותר מ-$\displaystyle \sqrt{x}$, ולכן $\displaystyle f(x)\to0$: אסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$.
• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x}-\ln x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}}={\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}}$, ו-$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {x}={e^2}$.
• $\displaystyle f$ עולה כש-$\displaystyle 0<x<e^2$ ויורדת כש-$\displaystyle x>e^2$: מקסימום $\displaystyle \left(e^2,\frac{2}{e}\right)\approx(7.39,0.74)$.

בדוגמה שלפניכם נחקור את המשפחה $\displaystyle {f(x)}={x^2-a\ln x}$, ו-$\displaystyle a>0$ פרמטר:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle x>0$, לכל $\displaystyle a$.
• $\displaystyle {f'(x)}={2x-\frac{a}{x}}={\frac{2x^2-a}{x}}$, ו-$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {x}={\sqrt{\frac{a}{2}}}$ (הפתרון השלילי אינו בתחום).
• $\displaystyle {f''(x)}={2+\frac{a}{x^2}>0}$: כל פונקציה במשפחה קעורה כלפי מעלה, ולכן הנקודה היא מינימום ואין נקודות פיתול.

בגרף: $\displaystyle {a}={2}$ ו-$\displaystyle {a}={8}$.

• $\displaystyle {a}={2}$: מינימום $\displaystyle (1,1)$.
• $\displaystyle {a}={8}$: מינימום $\displaystyle (2,4-8\ln2)\approx(2,-1.55)$.
• ככל ש-$\displaystyle a$ גדל, נקודת המינימום זזה ימינה: הפרמטר משנה את מקום הקיצון, לא את סוגו.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{e^x}{x^2}}$, בתחום $\displaystyle x\neq0$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.
הוסיפו שורה לכל אחת משתי האסימפטוטות: האנכית, והאופקית בצד שמאל.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}\ln x}$, בתחום $\displaystyle x>0$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$.

מצאו את התחום שבו הפונקציה קעורה כלפי מעלה: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודת הפיתול.

נתונה המשפחה $\displaystyle {f(x)}={e^x-ax}$, ו-$\displaystyle a>0$ פרמטר.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

הראו שלכל $\displaystyle a>0$ יש לפונקציה נקודת קיצון אחת, שבה $\displaystyle {x}={\ln a}$, וקבעו את סוגה.

חשבו את שיעור ה-$\displaystyle y$ של נקודת הקיצון.

נקודת הקיצון נמצאת על ציר ה-$\displaystyle x$.
מצאו את $\displaystyle a$.

הציבו את $\displaystyle a$ שמצאתם, וסמנו על הגרף את נקודת הקיצון.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{\ln x}}$.

מצאו את תחום ההגדרה, והסבירו.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון, והוסיפו שורה עם המשוואה של האסימפטוטה האנכית.