גרפים של פונקציות מורכבות ושל נגזרות

$\displaystyle e^{f(x)}$ עולה בדיוק במקומות שבהם $\displaystyle f$ עולה, ויורדת במקומות שבהם $\displaystyle f$ יורדת. הסיבה בנגזרת: $\displaystyle {\left(e^{f(x)}\right)'}={f'(x)\cdot e^{f(x)}}$, ו-$\displaystyle e^{f(x)}>0$, ולכן לנגזרת יש הסימן של $\displaystyle f'(x)$. מכאן, בלי לגזור:

• ל-$\displaystyle e^{f(x)}$ יש נקודות קיצון באותם ערכי $\displaystyle x$ כמו ל-$\displaystyle f$, מאותו סוג;
• הערך בנקודת הקיצון הוא $\displaystyle e$ בחזקת הערך של $\displaystyle f$ שם;
• $\displaystyle e^{f(x)}>0$ תמיד; ובמקום שבו $\displaystyle f(x)\to-\infty$, $\displaystyle e^{f(x)}\to0$ – אסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$.

לדוגמה, $\displaystyle {f(x)}={2x-x^2}$ (מקווקו) ו-$\displaystyle {g(x)}={e^{2x-x^2}}$:

• ל-$\displaystyle f$ מקסימום $\displaystyle (1,1)$, ולכן ל-$\displaystyle g$ מקסימום $\displaystyle {(1,e^1)}={(1,e)}$.
• כש-$\displaystyle x\to\pm\infty$, $\displaystyle 2x-x^2\to-\infty$, ולכן $\displaystyle g(x)\to0$: האסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$ משני הצדדים.

$\displaystyle \ln f(x)$ מוגדרת רק כש-$\displaystyle f(x)>0$, ושם היא עולה ויורדת יחד עם $\displaystyle f$: $\displaystyle {\left(\ln f(x)\right)'}={\frac{f'(x)}{f(x)}}$, ו-$\displaystyle f(x)>0$.

• נקודות הקיצון של $\displaystyle \ln f(x)$ באותם ערכי $\displaystyle x$ כמו של $\displaystyle f$, בתוך תחום ההגדרה.
• במקום שבו $\displaystyle f(x)\to0^+$, $\displaystyle \ln f(x)\to-\infty$ – אסימפטוטה אנכית.
• $\displaystyle {\ln f(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {f(x)}={1}$.

לדוגמה, $\displaystyle {g(x)}={\ln(4-x^2)}$:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle 4-x^2>0$, כלומר $\displaystyle -2<x<2$; האסימפטוטות האנכיות $\displaystyle {x}={-2}$ ו-$\displaystyle {x}={2}$.
• ל-$\displaystyle 4-x^2$ מקסימום $\displaystyle (0,4)$, ולכן ל-$\displaystyle g$ מקסימום $\displaystyle (0,\ln4)\approx(0,1.39)$.

בפונקציות $\displaystyle {y}={e^{a(x-p)^2+k}}$, $\displaystyle a\neq0$, המעריך הוא פונקציה ריבועית שהקודקוד שלה $\displaystyle (p,k)$. לכן:

• כש-$\displaystyle a>0$: נקודת מינימום $\displaystyle \left(p,e^k\right)$; כש-$\displaystyle a<0$: נקודת מקסימום $\displaystyle \left(p,e^k\right)$.
• כש-$\displaystyle {p}={0}$ הפונקציה זוגית.
• כש-$\displaystyle a<0$, המעריך שואף ל-$\displaystyle -\infty$ משני הצדדים: האסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$ משני הצדדים.
• $\displaystyle e^k>0$: אין בפונקציה הזאת נקודת קיצון שערך ה-$\displaystyle y$ שלה 0 או שלילי.

לדוגמה, פונקציה מהמשפחה שיש לה נקודת מקסימום $\displaystyle (1,e^2)$: $\displaystyle a<0$, $\displaystyle {p}={1}$, $\displaystyle {k}={2}$, כמו $\displaystyle {y}={e^{-(x-1)^2+2}}$. כל $\displaystyle a$ שלילי מתאים, ולכן יש אינסוף פונקציות כאלה.

לפניכם הגרף של הנגזרת $\displaystyle {g(x)}={f'(x)}={(x-1)e^x}$ – לא של $\displaystyle f$ עצמה. בדוגמה שלפניכם נקרא ממנו את התכונות של $\displaystyle f$:

• הגרף של $\displaystyle f'$ מתחת לציר ה-$\displaystyle x$ כש-$\displaystyle x<1$, ומעליו כש-$\displaystyle x>1$: $\displaystyle f$ יורדת ואחר כך עולה.
• $\displaystyle f'$ חותכת את ציר ה-$\displaystyle x$ ב-$\displaystyle {x}={1}$ ומחליפה סימן מ-$\displaystyle -$ ל-$\displaystyle +$: ל-$\displaystyle f$ יש מינימום ב-$\displaystyle {x}={1}$.
• $\displaystyle f'$ יורדת כש-$\displaystyle x<0$, כלומר $\displaystyle f''<0$ – $\displaystyle f$ קעורה כלפי מטה; $\displaystyle f'$ עולה כש-$\displaystyle x>0$ – $\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה.
• ל-$\displaystyle f'$ מינימום ב-$\displaystyle {x}={0}$, ולכן ל-$\displaystyle f$ נקודת פיתול ב-$\displaystyle {x}={0}$.

בקיצור: אפס של $\displaystyle f'$ שבו היא מחליפה סימן – נקודת קיצון של $\displaystyle f$; נקודת קיצון של $\displaystyle f'$ – נקודת פיתול של $\displaystyle f$.

הגרף של $\displaystyle f''$ מראה את הקעירות של $\displaystyle f$:

• איפה שהגרף של $\displaystyle f''$ מעל ציר ה-$\displaystyle x$, $\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה;
• איפה שהוא מתחת לציר, $\displaystyle f$ קעורה כלפי מטה;
• אפס של $\displaystyle f''$ שבו היא מחליפה סימן הוא שיעור ה-$\displaystyle x$ של נקודת פיתול של $\displaystyle f$.

הגרף של $\displaystyle f''$ לא מראה איפה $\displaystyle f$ עולה או יורדת: לשם כך צריך את $\displaystyle f'$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {g(x)}={\ln(x^2-6x+10)}$.

מצאו את תחום ההגדרה: פתרו את אי־השוויון.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון של $\displaystyle g$.

הסבירו, בלי לגזור, מדוע נקודת הקיצון של $\displaystyle g$ נמצאת שם: מצאו את הקודקוד של $\displaystyle x^2-6x+10$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {h(x)}={e^{4x-x^2-3}}$.

כתבו את המעריך בצורת קודקוד.
הסבירו, בלי לגזור, מה סוג נקודת הקיצון של $\displaystyle h$, וחשבו את שיעוריה.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון, והוסיפו שורה עם המשוואה של האסימפטוטה האופקית.

בגרף שלפניכם מתוארת הנגזרת של פונקציה $\displaystyle f$: $\displaystyle {f'(x)}={g(x)}={(x^2-1)e^{-x}}$.

מצאו את תחומי העלייה של $\displaystyle f$: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$.

סמנו על הגרף של $\displaystyle f'$ את הנקודות שבהן $\displaystyle x$ הוא שיעור של נקודת קיצון של $\displaystyle f$.

סמנו על הגרף של $\displaystyle f'$ את הנקודות שבהן $\displaystyle x$ הוא שיעור של נקודת פיתול של $\displaystyle f$.

קבעו את הסוג של כל נקודת קיצון של $\displaystyle f$, ונמקו לפי הגרף של $\displaystyle f'$.

נתונה המשפחה $\displaystyle {y}={e^{a(x-p)^2+k}}$, $\displaystyle a\neq0$.

בגרף מסומנות הנקודות $\displaystyle A(1,1)$ ו-$\displaystyle B(0,e)$.
לפונקציה מהמשפחה יש נקודת מינימום $\displaystyle A$, והגרף שלה עובר דרך $\displaystyle B$.
כתבו את הפונקציה בשורה משלכם.

האם יש במשפחה פונקציה שנקודת המינימום שלה $\displaystyle (0,-1)$? נמקו.

בגרף שלפניכם מתוארת הנגזרת השנייה של פונקציה $\displaystyle f$: $\displaystyle {f''(x)}={g(x)}={x^2-4}$.

סמנו על הגרף של $\displaystyle f''$ את הנקודות שבהן $\displaystyle x$ הוא שיעור של נקודת פיתול של $\displaystyle f$.

מצאו את התחום שבו $\displaystyle f$ קעורה כלפי מטה.