הנגזרת של פונקציה מעריכית

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 23לימוד

הנגזרת של פונקציה מעריכית

תזכורת מכיתה י"א: כללי הגזירה

כללי הגזירה שלמדתם בכיתה י"א נכונים גם לפונקציות החדשות:

הנגזרת של סכום היא סכום הנגזרות, ו- $\displaystyle {(c\cdot f(x))'}={c\cdot f'(x)}$ .
נגזרת של מכפלה, של מנה ושל פונקציה מורכבת:

\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]'

\displaystyle =

\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)

\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'

\displaystyle =

\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}

\displaystyle \left[f(u(x))\right]'

\displaystyle =

\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)

הנגזרת השנייה $\displaystyle f''(x)$ היא הנגזרת של $\displaystyle f'(x)$ . בתחום שבו $\displaystyle f''(x)>0$ הגרף קעור כלפי מעלה, ובתחום שבו $\displaystyle f''(x)<0$ הוא קעור כלפי מטה.
נקודת פיתול היא נקודה של הגרף שבה הקעירות מתחלפת: $\displaystyle f''$ מחליפה בה סימן.

השיפוע של

\displaystyle a^x

בנקודה

\displaystyle (0,1)

כל הגרפים של $\displaystyle {y}={a^x}$ עוברים דרך $\displaystyle (0,1)$ , אבל בשיפועים שונים. נחשב את השיפוע בקירוב, בעזרת שיפוע המיתר בין $\displaystyle {x}={0}$ ל- $\displaystyle {x}={0.001}$ , כלומר $\displaystyle \frac{a^{0.001}-1}{0.001}$ :

$\displaystyle {a}={2}$ : $\displaystyle \approx0.693$ .
$\displaystyle {a}={2.7}$ : $\displaystyle \approx0.994$ .
$\displaystyle {a}={3}$ : $\displaystyle \approx1.099$ .

יש בסיס אחד שבו השיפוע בנקודה $\displaystyle (0,1)$ הוא בדיוק 1 – הבסיס $\displaystyle e\approx2.718$ . המשיק לגרף של $\displaystyle e^x$ בנקודה $\displaystyle (0,1)$ הוא $\displaystyle {y}={x+1}$ :

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle g(x)=e^{x}

\displaystyle h(x)=3^{x}

\displaystyle y=x+1

הנגזרת של

\displaystyle e^x

השיפוע של $\displaystyle e^x$ בכל נקודה נובע מהשיפוע בנקודה $\displaystyle (0,1)$ :

שיפוע המיתר בין $\displaystyle x$ ל- $\displaystyle x+h$ הוא $\displaystyle {\frac{e^{x+h}-e^x}{h}}={e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}}$ .
כש- $\displaystyle h$ מתקרב ל-0, $\displaystyle \frac{e^h-1}{h}$ מתקרב לשיפוע בנקודה $\displaystyle (0,1)$ , כלומר ל-1.
לכן השיפוע בנקודה שבה $\displaystyle x$ הוא $\displaystyle e^x$ : בכל נקודה שיפוע המשיק שווה לגובה הגרף.

\displaystyle (e^{x})'

\displaystyle =

\displaystyle e^{x}

הנגזרת של

\displaystyle e^{f(x)}

$\displaystyle e^{f(x)}$ היא פונקציה מורכבת: הנגזרת החיצונית $\displaystyle e^{f(x)}$ כפול הנגזרת הפנימית $\displaystyle f'(x)$ .

\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]'

\displaystyle =

\displaystyle e^{f(x)}\cdot f'(x)

$\displaystyle {\left(e^{3x}\right)'}={3e^{3x}}$ .
$\displaystyle {\left(e^{x^2-2x}\right)'}={(2x-2)e^{x^2-2x}}$ .
$\displaystyle {\left(e^{-x}\right)'}={-e^{-x}}$ .

הנגזרת של

\displaystyle a^x

כל פונקציה מעריכית אפשר לכתוב בבסיס $\displaystyle e$ : $\displaystyle {a^x}={e^{x\ln a}}$ . לפי הנגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$ , כש- $\displaystyle {f(x)}={x\ln a}$ :

\displaystyle (a^{x})'

\displaystyle =

\displaystyle a^{x}\cdot\ln a

$\displaystyle {(2^x)'}={2^x\ln2}$ , ו- $\displaystyle {(10^x)'}={10^x\ln10}$ .
הנגזרת של $\displaystyle a^x$ היא $\displaystyle a^x$ כפול מספר קבוע, $\displaystyle \ln a$ .

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle g(x)=2^{x}\ln2

\displaystyle h(x)=3^{x}

\displaystyle k(x)=3^{x}\ln3

בציור: $\displaystyle 2^x$ ו- $\displaystyle 3^x$ , ולידן הנגזרות שלהן (מקווקוות).

$\displaystyle \ln2\approx0.69<1$ : הגרף של $\displaystyle (2^x)'$ מתחת לגרף של $\displaystyle 2^x$ .
$\displaystyle \ln3\approx1.10>1$ : הגרף של $\displaystyle (3^x)'$ מעל לגרף של $\displaystyle 3^x$ .
בבסיס $\displaystyle e$ , $\displaystyle {\ln e}={1}$ , והגרף של הנגזרת הוא הגרף של הפונקציה עצמה.

משוואת המשיק

בדוגמה שלפניכם נמצא את משוואת המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={e^{2x-2}}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$ :

נקודת ההשקה: $\displaystyle {f(1)}={e^0}={1}$ , כלומר $\displaystyle (1,1)$ .
השיפוע: $\displaystyle {f'(x)}={2e^{2x-2}}$ , ולכן $\displaystyle {f'(1)}={2}$ .
המשיק: $\displaystyle {y-1}={2(x-1)}$ , כלומר $\displaystyle {y}={2x-1}$ .

נגזרת שנייה וקעירות

בדוגמה שלפניכם נמצא את תחומי הקעירות ואת נקודות הפיתול של $\displaystyle {f(x)}={e^{-x^2}}$ :

$\displaystyle {f'(x)}={-2xe^{-x^2}}$ .
$\displaystyle {f''(x)}={-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x)e^{-x^2}}={(4x^2-2)e^{-x^2}}$ .
$\displaystyle e^{-x^2}>0$ , ולכן הסימן של $\displaystyle f''$ הוא הסימן של $\displaystyle 4x^2-2$ : $\displaystyle {f''(x)}={0}$ כש- $\displaystyle {x}={\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\approx\pm0.707}$ .
קעורה כלפי מעלה כש- $\displaystyle x<-\frac{\sqrt{2}}{2}$ או $\displaystyle x>\frac{\sqrt{2}}{2}$ , וקעורה כלפי מטה כש- $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}<x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}

\displaystyle P=(-0.707,0.607)

\displaystyle Q=(0.707,0.607)

נקודות הפיתול: $\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2},e^{-\frac{1}{2}}\right)\approx(\pm0.707,0.607)$ .
הגרף הזה נקרא “פעמון”: קעור כלפי מטה סביב המקסימום $\displaystyle (0,1)$ , וקעור כלפי מעלה בשני הצדדים, כשהוא מתקרב לאסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$ .

תרגיל 1

גזרו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

גזרו, והוציאו גורם משותף.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={xe^{2x}}$ .
$\displaystyle {f'(x)}={e^{2x}(1+2x)}$ .

מצאו את הנגזרת השנייה $\displaystyle f''(x)$ , והוציאו גורם משותף.

$\displaystyle f(x)=xe^{2x}$

מצאו את התחום שבו הגרף קעור כלפי מעלה: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ .

סמנו על הגרף את נקודת הפיתול.

\displaystyle f(x)=xe^{2x}

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={3^x}$ .

חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={0}$ .

$\displaystyle f(x)=3^{x}$

כתבו את משוואת המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (0,1)$ .

\displaystyle f(x)=3^{x}

\displaystyle (0,1)

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={e^{2x}-4x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=e^{2x}-4x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.

\displaystyle f(x)=e^{2x}-4x

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$