הנגזרת של פונקציה לוגריתמית

$\displaystyle \ln x$ היא הפונקציה ההפוכה של $\displaystyle e^x$, ולכן הגרף שלה הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle e^x$ בישר $\displaystyle {y}={x}$. גם המשיקים משתקפים:

• הנקודה $\displaystyle A(1,e)$ על הגרף של $\displaystyle e^x$, והשיפוע בה $\displaystyle {e^1}={e}$.
• בשיקוף היא עוברת לנקודה $\displaystyle B(e,1)$ על הגרף של $\displaystyle \ln x$, והמשיק $\displaystyle {y}={ex}$ עובר למשיק $\displaystyle {y}={\frac{x}{e}}$.
• השיקוף מחליף את השינוי ב-$\displaystyle x$ ואת השינוי ב-$\displaystyle y$, ולכן השיפוע $\displaystyle m$ הופך ל-$\displaystyle \frac{1}{m}$: השיפוע ב-$\displaystyle B$ הוא $\displaystyle \frac{1}{e}$.

כך בכל נקודה: בנקודה $\displaystyle (t,e^t)$ על הגרף של $\displaystyle e^x$ השיפוע $\displaystyle e^t$, ובנקודה $\displaystyle (e^t,t)$ על הגרף של $\displaystyle \ln x$ השיפוע $\displaystyle \frac{1}{e^t}$. בנקודה הזאת $\displaystyle {x}={e^t}$, ולכן השיפוע הוא $\displaystyle \frac{1}{x}$:

• הנגזרת מוגדרת בתחום ההגדרה של $\displaystyle \ln x$, כלומר כש-$\displaystyle x>0$.
• $\displaystyle \frac{1}{x}>0$: הפונקציה $\displaystyle \ln x$ עולה בכל תחום ההגדרה שלה.
• $\displaystyle {(\ln x)''}={-\frac{1}{x^2}<0}$: הגרף קעור כלפי מטה בכל תחום ההגדרה.

$\displaystyle \ln f(x)$ היא פונקציה מורכבת: הנגזרת החיצונית $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ כפול הנגזרת הפנימית $\displaystyle f'(x)$.

• $\displaystyle {\left(\ln(x^2+1)\right)'}={\frac{2x}{x^2+1}}$.
• $\displaystyle {\left(\ln(3x-2)\right)'}={\frac{3}{3x-2}}$, בתחום $\displaystyle x>\frac{2}{3}$.
• $\displaystyle {\left(\ln(5x)\right)'}={\frac{5}{5x}}={\frac{1}{x}}$: גם לפי החוקים, $\displaystyle {\ln(5x)}={\ln5+\ln x}$, והנגזרת של הקבוע $\displaystyle \ln5$ היא 0.

לפי מעבר מבסיס לבסיס, $\displaystyle {\log_a x}={\frac{\ln x}{\ln a}}$, ו-$\displaystyle \ln a$ מספר קבוע:

• $\displaystyle {(\log_2 x)'}={\frac{1}{x\ln2}}$.
• $\displaystyle {(\log x)'}={\frac{1}{x\ln10}}$.

$\displaystyle \ln(-x)$ מוגדרת כש-$\displaystyle -x>0$, כלומר כש-$\displaystyle x<0$. הגרף שלה הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle \ln x$ בציר ה-$\displaystyle y$.

• לפי הנגזרת של $\displaystyle \ln f(x)$: $\displaystyle {\left(\ln(-x)\right)'}={\frac{-1}{-x}}={\frac{1}{x}}$.
• ל-$\displaystyle \ln x$ ול-$\displaystyle \ln(-x)$ יש אותה נגזרת, $\displaystyle \frac{1}{x}$, כל אחת בתחום ההגדרה שלה.
• כש-$\displaystyle x<0$, $\displaystyle \frac{1}{x}<0$: $\displaystyle \ln(-x)$ יורדת.

לפעמים כדאי לפרק לוגריתם בחוקי הלוגריתמים לפני שגוזרים. בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle {f(x)}={\ln\frac{x^2}{x+1}}$, כש-$\displaystyle x>0$:

• $\displaystyle {f(x)}={\ln x^2-\ln(x+1)}={2\ln x-\ln(x+1)}$.
• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}}$.
• במכנה משותף: $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2(x+1)-x}{x(x+1)}}={\frac{x+2}{x(x+1)}}$.

בדוגמה שלפניכם נמצא את משוואת המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={\ln(2x-1)}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$:

• נקודת ההשקה: $\displaystyle {f(1)}={\ln1}={0}$, כלומר $\displaystyle (1,0)$.
• השיפוע: $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2}{2x-1}}$, ולכן $\displaystyle {f'(1)}={2}$.
• המשיק: $\displaystyle {y-0}={2(x-1)}$, כלומר $\displaystyle {y}={2x-2}$.

גזרו.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\ln x+\frac{1}{x}}$, בתחום $\displaystyle x>0$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$, וכתבו אותה כשבר אחד.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

מצאו את הנגזרת השנייה $\displaystyle f''(x)$, וכתבו אותה כשבר אחד.

מצאו את התחום שבו הגרף קעור כלפי מעלה: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודת הפיתול.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\ln(4-x^2)}$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה: פתרו את אי־השוויון.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות החיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$.

משיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={\ln x}$ בנקודה $\displaystyle (a,\ln a)$ עובר דרך ראשית הצירים.
משוואת המשיק היא $\displaystyle {y-\ln a}={\frac{1}{a}(x-a)}$.

הצבה של הנקודה $\displaystyle (0,0)$ במשוואת המשיק נותנת $\displaystyle {-\ln a}={-1}$, כלומר $\displaystyle {\ln a}={1}$.
פתרו את המשוואה (בה כתוב $\displaystyle x$ במקום $\displaystyle a$).

כתבו את משוואת המשיק.