משוואות ואי־שוויונות מעריכיים

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 23לימוד

משוואות ואי־שוויונות מעריכיים

אותו בסיס בשני האגפים

במשוואה מעריכית הנעלם נמצא במעריך. כששני האגפים הם חזקות של אותו בסיס, המעריכים שווים:

\displaystyle a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)

\displaystyle a>0,\ a\neq1

$\displaystyle {9^{x}}={27}$ : $\displaystyle {3^{2x}}={3^{3}}$ , ולכן $\displaystyle {2x}={3}$ ו- $\displaystyle {x}={\frac{3}{2}}$ .
$\displaystyle {2^{x}}={-4}$ – אין פתרון: חזקה של בסיס חיובי חיובית תמיד.

גורם משותף

כשהמעריכים נבדלים במספר קבוע, מוציאים את החזקה הקטנה כגורם משותף. בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {2^{x+1}+2^{x}}={24}$ :

$\displaystyle {2^{x+1}}={2\cdot2^{x}}$ , ולכן האגף השמאלי הוא $\displaystyle {2\cdot2^{x}+2^{x}}={3\cdot2^{x}}$ .
$\displaystyle {3\cdot2^{x}}={24}$ , ולכן $\displaystyle {2^{x}}={8}={2^{3}}$ ו- $\displaystyle {x}={3}$ .

ההצבה

\displaystyle {t}={a^x}

כשמופיעות במשוואה $\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle {a^{2x}}={(a^x)^2}$ , מציבים $\displaystyle {t}={a^x}$ ומקבלים משוואה ריבועית. בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {4^{x}-3\cdot2^{x+1}+8}={0}$ :

$\displaystyle {4^{x}}={(2^{x})^{2}}={t^{2}}$ , ו- $\displaystyle {2^{x+1}}={2t}$ .
$\displaystyle {t^{2}-6t+8}={0}$ , ולכן $\displaystyle {t}={2}$ או $\displaystyle {t}={4}$ .
$\displaystyle {2^{x}}={2}$ נותן $\displaystyle {x}={1}$ ; $\displaystyle {2^{x}}={4}$ נותן $\displaystyle {x}={2}$ .
$\displaystyle {t}={a^x}$ חיובי תמיד: פתרון שלילי של $\displaystyle t$ אינו נותן $\displaystyle x$ .

אותו מעריך, בסיסים שונים

חזקות עם אותו מעריך מצטרפות לחזקה אחת לפי $\displaystyle {a^x\cdot b^x}={(a\cdot b)^x}$ :

$\displaystyle {2^{x}\cdot3^{x}}={36}$ : $\displaystyle {6^{x}}={6^{2}}$ , ולכן $\displaystyle {x}={2}$ .
$\displaystyle {3^{x}}={5^{x}}$ : מחלקים ב- $\displaystyle 5^x$ ומקבלים $\displaystyle {\left(\frac{3}{5}\right)^{x}}={1}$ , ולכן $\displaystyle {x}={0}$ .

אי־שוויונות מעריכיים

$\displaystyle a^x$ עולה כש- $\displaystyle a>1$ ויורדת כש- $\displaystyle 0<a<1$ . לכן כשמשווים מעריכים:

כש- $\displaystyle a>1$ הסימן נשמר: $\displaystyle 2^{x}>2^{5}$ פירושו $\displaystyle x>5$ .
כש- $\displaystyle 0<a<1$ הסימן מתהפך: $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{x}>\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$ פירושו $\displaystyle x<2$ .

דוגמה פתורה: אי־שוויון בהצבה

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle 9^{x}-10\cdot3^{x}+9<0$ בעזרת ההצבה $\displaystyle {t}={3^x}$ :

$\displaystyle t^{2}-10t+9<0$ , כלומר $\displaystyle (t-1)(t-9)<0$ , ולכן $\displaystyle 1<t<9$ .
$\displaystyle 1<3^{x}<9$ הוא $\displaystyle 3^{0}<3^{x}<3^{2}$ , והבסיס 3 גדול מ-1.
הפתרון: $\displaystyle 0<x<2$ .

תרגיל 1

פתרו.

תרגיל 2

פתרו בעזרת גורם משותף.

תרגיל 3

פתרו בעזרת הצבה.

תרגיל 4

פתרו את אי־השוויונות.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$