הפונקציה המעריכית

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 7 מתוך 23לימוד

הפונקציה המעריכית

בפונקציה מעריכית המשתנה נמצא במעריך, והבסיס הוא מספר קבוע:

\displaystyle f(x)=a^{x}

\displaystyle a>0,\ a\neq1

לבסיס שלילי אין ערך בחלק מה- $\displaystyle x$ -ים: $\displaystyle {(-9)^{\frac{1}{2}}}={\sqrt{-9}}$ אינו מספר.
הבסיס 1 נותן $\displaystyle {1^x}={1}$ לכל $\displaystyle x$ – ישר אופקי.

על מערכת הצירים: $\displaystyle 3^x$ ו- $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x$ .

\displaystyle f(x)=3^{x}

\displaystyle g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}

\displaystyle y=0

התכונות של

\displaystyle a^x

לכל פונקציה מעריכית $\displaystyle {y}={a^x}$ אותן תכונות:

תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$ .
$\displaystyle a^x>0$ לכל $\displaystyle x$ : אין נקודת חיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ .
נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle (0,1)$ , כי $\displaystyle {a^0}={1}$ .
האסימפטוטה האופקית $\displaystyle {y}={0}$ : כש- $\displaystyle a>1$ הגרף מתקרב אליה משמאל, וכש- $\displaystyle 0<a<1$ – מימין.
כש- $\displaystyle a>1$ הפונקציה עולה; כש- $\displaystyle 0<a<1$ היא יורדת.

\displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^x

, השיקוף של

\displaystyle a^x

$\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)^x}={3^{-x}}$ : ב- $\displaystyle x$ יש לה הערך ש- $\displaystyle 3^x$ מקבלת ב- $\displaystyle -x$ .

לכן הגרף של $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x$ הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle 3^x$ ביחס לציר ה- $\displaystyle y$ .
כך לכל בסיס: $\displaystyle {\left(\frac{1}{a}\right)^x}={a^{-x}}$ .

צעדים שווים ב-

\displaystyle x

וסדרה הנדסית

בפונקציה מעריכית, כל צעד של 1 ב- $\displaystyle x$ כופל את $\displaystyle y$ באותו מספר. בפונקציה קווית כל צעד כזה מוסיף ל- $\displaystyle y$ אותו מספר:

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle {f(x)}={3\cdot2^{x}}$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 24$
$\displaystyle {g(x)}={2x+3}$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 9$

הערכים של $\displaystyle f$ הם סדרה הנדסית עם המנה 2, הבסיס.
הערכים של $\displaystyle g$ הם סדרה חשבונית עם ההפרש 2, השיפוע.
לכן מנה קבועה של ערכים עוקבים, בצעדים שווים של $\displaystyle x$ , מראה שהפונקציה מעריכית.

הזזות ומתיחות

בפונקציה $\displaystyle {y}={k\cdot a^{x-p}+q}$ , הגרף של $\displaystyle a^x$ זז $\displaystyle p$ ימינה ו- $\displaystyle q$ למעלה, ונמתח פי $\displaystyle k$ . האסימפטוטה זזה עם הגרף ל- $\displaystyle {y}={q}$ .
בדוגמה שלפניכם נמצא את התכונות של $\displaystyle {f(x)}={2^{x-1}-4}$ :

הזזה של $\displaystyle 2^x$ ב-1 ימינה וב-4 למטה; האסימפטוטה $\displaystyle {y}={-4}$ .
חיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ : $\displaystyle {2^{x-1}}={4}={2^{2}}$ , ולכן $\displaystyle {x-1}={2}$ ו- $\displaystyle {x}={3}$ .
חיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle {f(0)}={2^{-1}-4}={-3.5}$ .
הבסיס 2 גדול מ-1, ולכן הפונקציה עולה.

\displaystyle f(x)=2^{x-1}-4

\displaystyle y=-4

\displaystyle A=(3,0)

\displaystyle B=(0,-3.5)

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={3^{x-2}-1}$ .

כתבו את משוואת האסימפטוטה האופקית, וקבעו אם הפונקציה עולה או יורדת.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $\displaystyle x$ .

סמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם הצירים.

\displaystyle f(x)=3^{x-2}-1

\displaystyle y=-1

תרגיל 2

מצאו את הפונקציה, וכתבו אותה בשורה משלכם.

הפונקציה מהצורה $\displaystyle {y}={a^{x}+q}$ .
האסימפטוטה של הגרף היא $\displaystyle {y}={-2}$ , והגרף עובר דרך הנקודה $\displaystyle A(1,1)$ .

\displaystyle A=(1,1)

\displaystyle y=-2

הפונקציה מהצורה $\displaystyle {y}={k\cdot a^{x}}$ .
הגרף עובר דרך הנקודות $\displaystyle A(0,5)$ ו- $\displaystyle B(2,20)$ .

\displaystyle A=(0,5)

\displaystyle B=(2,20)

תרגיל 3

הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={k\cdot a^{x}}$ מקבלת את הערכים:
$\displaystyle {f(1)}={6}$ , $\displaystyle {f(2)}={18}$ , $\displaystyle {f(3)}={54}$ .

מצאו את $\displaystyle a$ ואת $\displaystyle k$ , וכתבו את הפונקציה בשורה משלכם.

\displaystyle A=(1,6)

\displaystyle B=(2,18)

\displaystyle C=(3,54)

חשבו את $\displaystyle f(5)$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 4

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={2^{x}}$ ו- $\displaystyle {g(x)}={8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}$ .

מצאו את שיעור ה- $\displaystyle x$ של נקודת החיתוך של הגרפים.

סמנו את נקודת החיתוך על הגרף.

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle g(x)=8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

מצאו את תחום ה- $\displaystyle x$ שבו $\displaystyle f(x)>g(x)$ .

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$