בעיות קיצון עם פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 18 מתוך 23לימוד

בעיות קיצון עם פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

שלבי הפתרון

בעיית קיצון נפתרת באותם שלבים כמו בכיתה י"א; רק הפונקציות חדשות:

בוחרים משתנה, ורושמים את התחום שלו לפי הבעיה;
מבטאים את הגודל שרוצים להגדיל או להקטין כפונקציה של המשתנה;
גוזרים, ופותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ ;
בודקים בסימן של $\displaystyle f'$ (או של $\displaystyle f''$ ) שהנקודה היא המקסימום או המינימום המבוקש;
בקטע סגור משווים גם לערכים בקצוות;
עונים במילים, עם יחידות.

ריכוז של תרופה בדם

ריכוז של תרופה בדם, $\displaystyle t$ שעות אחרי שנלקחה, הוא $\displaystyle {C(t)}={20te^{-0.5t}}$ מיליגרם לליטר ( $\displaystyle t\geq0$ ).
מתי הריכוז הוא הגבוה ביותר, ומהו?

בדוגמה שלפניכם נמצא את המקסימום של $\displaystyle C$ בתחום $\displaystyle t\geq0$ :

$\displaystyle {C'(t)}={20e^{-0.5t}+20t\cdot(-0.5)e^{-0.5t}}={20e^{-0.5t}(1-0.5t)}$ .
$\displaystyle e^{-0.5t}>0$ , ולכן $\displaystyle {C'(t)}={0}$ רק כש- $\displaystyle {1-0.5t}={0}$ , כלומר $\displaystyle {t}={2}$ .
כש- $\displaystyle 0\leq t<2$ , $\displaystyle C'(t)>0$ – הריכוז עולה; כש- $\displaystyle t>2$ , $\displaystyle C'(t)<0$ – הריכוז יורד. לכן ב- $\displaystyle {t}={2}$ יש מקסימום מוחלט.
$\displaystyle {C(2)}={40e^{-1}}={\frac{40}{e}\approx14.7}$ .

הריכוז הגבוה ביותר, כ-14.7 מיליגרם לליטר, מגיע שעתיים אחרי לקיחת התרופה.

\displaystyle C(x)=20xe^{-0.5x}

\displaystyle M=(2,14.715)

מלבן מתחת לגרף של

\displaystyle e^{-x^2}

שני קודקודים של מלבן נמצאים על ציר ה- $\displaystyle x$ , ושני הקודקודים האחרים על הגרף של $\displaystyle {y}={e^{-x^2}}$ .
מה השטח הגדול ביותר של מלבן כזה?

בדוגמה שלפניכם נסמן את הקודקודים $\displaystyle (\pm x,0)$ ו- $\displaystyle \left(\pm x,e^{-x^2}\right)$ , $\displaystyle x>0$ – הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $\displaystyle y$ :

\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}

\displaystyle A=(-0.707,0)

\displaystyle B=(0.707,0)

\displaystyle C=(0.707,0.607)

\displaystyle D=(-0.707,0.607)

הבסיס $\displaystyle 2x$ , הגובה $\displaystyle e^{-x^2}$ , השטח $\displaystyle {S(x)}={2xe^{-x^2}}$ .
$\displaystyle {S'(x)}={2e^{-x^2}+2x\cdot(-2x)e^{-x^2}}={2e^{-x^2}(1-2x^2)}$ .
$\displaystyle {S'(x)}={0}$ כש- $\displaystyle {x^2}={\frac{1}{2}}$ , כלומר $\displaystyle {x}={\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0.71}$ ( $\displaystyle x>0$ ).
$\displaystyle S'>0$ משמאל לנקודה ו- $\displaystyle S'<0$ מימינה: מקסימום.
$\displaystyle {S\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}={\sqrt{2}e^{-\frac{1}{2}}\approx0.86}$ .

משולש שמשיק חותך מהצירים

בנקודה $\displaystyle (t,e^{-t})$ , $\displaystyle t\geq0$ , מעבירים משיק לגרף של $\displaystyle {y}={e^{-x}}$ .
המשיק והצירים יוצרים משולש.
מה השטח הגדול ביותר של משולש כזה?

בדוגמה שלפניכם נבטא את השטח באמצעות $\displaystyle t$ :

שיפוע המשיק: $\displaystyle {\left(e^{-x}\right)'}={-e^{-x}}$ , ובנקודה $\displaystyle -e^{-t}$ . המשיק: $\displaystyle {y-e^{-t}}={-e^{-t}(x-t)}$ .
חיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ ( $\displaystyle {x}={0}$ ): $\displaystyle {y}={e^{-t}(1+t)}$ . חיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ( $\displaystyle {y}={0}$ ): $\displaystyle {x}={t+1}$ .
השטח: $\displaystyle {A(t)}={\frac{(t+1)\cdot e^{-t}(t+1)}{2}}={\frac{(t+1)^2e^{-t}}{2}}$ .

\displaystyle f(x)=e^{-x}

\displaystyle y=-e^{-1}x+2e^{-1}

\displaystyle P=(1,0.368)

$\displaystyle {A'(t)}={\frac{2(t+1)e^{-t}-(t+1)^2e^{-t}}{2}}={\frac{e^{-t}(t+1)(1-t)}{2}}$ , ו- $\displaystyle {A'(t)}={0}$ כש- $\displaystyle {t}={1}$ ( $\displaystyle t\geq0$ ).
$\displaystyle A'>0$ כש- $\displaystyle 0\leq t<1$ ו- $\displaystyle A'<0$ כש- $\displaystyle t>1$ : מקסימום.
$\displaystyle {A(1)}={2e^{-1}}={\frac{2}{e}\approx0.74}$ . בגרף: המשיק בנקודה $\displaystyle (1,e^{-1})$ .

קיצון מוחלט בקטע סגור

בקטע סגור, הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של פונקציה נמצאים בנקודת קיצון או בקצה של הקטע.

בדוגמה שלפניכם נמצא את הערכים הקיצוניים של $\displaystyle {f(x)}={\frac{\ln x}{x}}$ בקטע $\displaystyle 1\leq x\leq e^2$ :

$\displaystyle {f'(x)}={\frac{1-\ln x}{x^2}}={0}$ כש- $\displaystyle {x}={e}$ , בתוך הקטע.
הערכים: $\displaystyle {f(1)}={0}$ , $\displaystyle {f(e)}={\frac{1}{e}\approx0.37}$ , $\displaystyle {f(e^2)}={\frac{2}{e^2}\approx0.27}$ .
המקסימום המוחלט $\displaystyle \frac{1}{e}$ , ב- $\displaystyle {x}={e}$ ; המינימום המוחלט $\displaystyle 0$ , בקצה $\displaystyle {x}={1}$ .

תרגיל 1

חנות מוכרת מוצר במחיר של $\displaystyle x$ שקלים.
ההכנסה היומית של החנות מהמוצר היא $\displaystyle {R(x)}={100xe^{-0.1x}}$ שקלים.
באיזה מחיר ההכנסה היומית היא הגבוהה ביותר?

מצאו את $\displaystyle R'(x)$ .

$\displaystyle R(x)=100xe^{-0.1x}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {R'(x)}={0}$ .

חשבו את ההכנסה הגבוהה ביותר, ועגלו לאגורות.

$\displaystyle R(x)=100xe^{-0.1x}$

תרגיל 2

על הגרף של $\displaystyle {y}={\ln x}$ ועל הישר $\displaystyle {y}={x}$ יש לכל $\displaystyle x>0$ נקודה, אחת מעל השנייה.
המרחק האנכי בין שתי הנקודות הוא $\displaystyle {d(x)}={x-\ln x}$ .
מצאו את המרחק האנכי הקטן ביותר.

\displaystyle f(x)=\ln x

\displaystyle g(x)=x

מצאו את $\displaystyle d'(x)$ .

$\displaystyle d(x)=x-\ln x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {d'(x)}={0}$ .

חשבו את המרחק הקטן ביותר.

$\displaystyle d(x)=x-\ln x$

תרגיל 3

קודקוד אחד של מלבן נמצא בראשית, ושתי צלעות שלו על הצירים.
הקודקוד שמול הראשית נמצא על הגרף של $\displaystyle {y}={3-\ln x}$ , בתחום $\displaystyle 0<x<e^3$ .
השטח של המלבן הוא $\displaystyle {S(x)}={x(3-\ln x)}$ .

\displaystyle f(x)=3-\ln x

מצאו את $\displaystyle S'(x)$ .

$\displaystyle S(x)=x(3-\ln x)$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {S'(x)}={0}$ .

חשבו את השטח הגדול ביותר.

$\displaystyle S(x)=x(3-\ln x)$

הסבירו בעזרת הסימן של $\displaystyle S'$ שזה אכן מקסימום.

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2e^{-x}}$ , בקטע $\displaystyle -1\leq x\leq3$ .
מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}e^{-x}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערכי הפונקציה בקצות הקטע ובנקודת הקיצון שאינה $\displaystyle {x}={0}$ ( $\displaystyle {f(0)}={0}$ ).

$\displaystyle f(x)=x^{2}e^{-x}$

כתבו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר, ואיפה כל אחד מהם מתקבל.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$