גדילה ודעיכה

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 8 מתוך 23לימוד

גדילה ודעיכה

תהליך של גדילה או דעיכה

בתהליך של גדילה או דעיכה הכמות מוכפלת באותו מספר $\displaystyle q$ בכל יחידת זמן – בכל שנה, בכל יום או בכל שעה. המספר $\displaystyle q$ נקרא מקדם הגדילה (כש- $\displaystyle q>1$ ) או מקדם הדעיכה (כש- $\displaystyle 0<q<1$ ).

כמות שגדלה ב- $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן מוכפלת ב- $\displaystyle {q}={1+\frac{p}{100}}$ : גדילה של 5% – $\displaystyle {q}={1.05}$ .
כמות שקטנה ב- $\displaystyle p$ אחוזים מוכפלת ב- $\displaystyle {q}={1-\frac{p}{100}}$ : ירידה של 20% – $\displaystyle {q}={0.8}$ .

אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן הכמות מוכפלת $\displaystyle t$ פעמים ב- $\displaystyle q$ :

\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}

$\displaystyle f(0)$ – הכמות בהתחלה.
$\displaystyle f(t)$ – הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן; $\displaystyle t$ יכול להיות גם שבר, וגם שלילי – זמן לפני תחילת המדידה.

חיידקים שמכפילים את עצמם

חיידק מתחלק לשניים, וכל חלק הופך לחיידק בפני עצמו. נניח שבמעבדה יש חיידק אחד, והאוכלוסייה מכפילה את עצמה בכל שעה:

אחרי $\displaystyle t$ שעות יש $\displaystyle 2^t$ חיידקים: 1, 2, 4, 8, 16, … ואחרי יממה $\displaystyle {2^{24}}={16{,}777{,}216}$ .
המספרים בשעות השלמות הם סדרה הנדסית שהמנה שלה $\displaystyle {q}={2}$ : צעדים שווים ב- $\displaystyle t$ מכפילים את הכמות באותו מספר.

\displaystyle f(x)=2^{x}

\displaystyle (0,1)

\displaystyle (1,2)

\displaystyle (2,4)

\displaystyle (3,8)

\displaystyle (4,16)

כשבהתחלה יש $\displaystyle 100{,}000$ חיידקים, $\displaystyle {f(t)}={100000\cdot2^t}$ :

שעה לפני תחילת הניסוי: $\displaystyle {f(-1)}={100000\cdot2^{-1}}={50{,}000}$ חיידקים.
בחצי שעה האוכלוסייה גדלה פי $\displaystyle 2^{0.5}\approx1.414$ , וברבע שעה פי $\displaystyle 2^{0.25}\approx1.189$ .

מציאת

\displaystyle q

משתי מדידות

בתרבית חיידקים נמדדו 400 חיידקים.
אחרי 3 שעות נמדדו באותה תרבית 1,350 חיידקים.
מספר החיידקים גדל באחוז קבוע בכל שעה.

בדוגמה שלפניכם נמצא את מקדם הגדילה לשעה.

$\displaystyle {400\cdot q^3}={1350}$ , ולכן $\displaystyle {q^3}={\frac{1350}{400}}={3.375}$ .
$\displaystyle {q}={3.375^{\frac{1}{3}}}={1.5}$ : מספר החיידקים גדל ב-50% בכל שעה.
הפונקציה: $\displaystyle {f(t)}={400\cdot1.5^t}$ , כש- $\displaystyle t$ השעות מהמדידה הראשונה.

זמן הכפלה וזמן מחצית חיים

זמן ההכפלה הוא הזמן שבו כמות שגדלה גדלה פי 2. זמן מחצית החיים $\displaystyle T$ הוא הזמן שבו כמות שדועכת קטנה לחצי:

\displaystyle q^{T}

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{2}

בגוף של חולה יש 100 מ"ג של תרופה, ובכל שעה הכמות קטנה ב-20%. בדוגמה שלפניכם נמצא את זמן מחצית החיים של התרופה.

$\displaystyle {0.8^T}={0.5}$ , כלומר $\displaystyle {T}={\log_{0.8}0.5}$ .
במחשבון, במעבר לבסיס 10: $\displaystyle {T}={\frac{\log0.5}{\log0.8}\approx3.106}$ שעות.

\displaystyle f(x)=100\cdot0.8^{x}

\displaystyle y=50

זמן מחצית החיים לא תלוי בכמות ההתחלתית: כל 3.106 שעות הכמות קטנה לחצי – מ-100 ל-50, מ-50 ל-25.
כשזמן מחצית החיים נתון, מוצאים ממנו את $\displaystyle q$ . לפחמן 14 זמן מחצית חיים של 5,730 שנה: $\displaystyle {q^{5730}}={0.5}$ , ולכן $\displaystyle {q}={0.5^{\frac{1}{5730}}\approx0.999879}$ לשנה.

החלפת יחידת הזמן

ב- $\displaystyle {f(t)}={f(0)\cdot q^t}$ הזמן $\displaystyle t$ נמדד ביחידה שבה נתון $\displaystyle q$ .

ריבית של 5% לשנה: אחרי 18 חודשים עברו $\displaystyle {t}={1.5}$ שנים, ו-12,000 ₪ גדלו ל- $\displaystyle 12000\cdot1.05^{1.5}\approx12911.16$ ₪.
מקדם הגדילה לחודש הוא המספר שמוכפל בעצמו 12 פעמים ונותן $\displaystyle 1.05$ : $\displaystyle 1.05^{\frac{1}{12}}\approx1.00407$ .
כלומר הסכום גדל בכ-0.41% בחודש, ולא ב- $\displaystyle \frac{5}{12}\%$ .

תרגיל 1

בעיר גרים 80,000 תושבים.
מספר התושבים גדל בכל שנה ב-2.5%.

כמה תושבים יגורו בעיר בעוד 8 שנים? כתבו את החישוב, ועגלו למספר שלם.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

בעוד כמה שנים יגורו בעיר 100,000 תושבים? פתרו את המשוואה, ועגלו את התשובה לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

תרגיל 2

בתחילת ניסוי היו בצלחת 500 חיידקים.
אחרי 4 שעות היו בה 2,000 חיידקים.
מספר החיידקים גדל באחוז קבוע בכל שעה.

חשבו את מקדם הגדילה לשעה.

כמה חיידקים יהיו בצלחת אחרי 10 שעות?

$\displaystyle {\left(\sqrt{2}\right)^t}={2^{\frac{t}{2}}}$ .
מצאו את זמן ההכפלה: פתרו את המשוואה.

תרגיל 3

חולה נטל גלולות שינה, ובדם שלו יש 4 מיליגרם של התרופה.
בכל שעה כמות התרופה בדם קטנה ב-25%.

כמה מיליגרם של התרופה יהיו בדם אחרי 6 שעות? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

מצאו את זמן מחצית החיים של התרופה.

בדיקת דם מגלה את התרופה כשיש בדם לפחות 0.1 מיליגרם ממנה.
פתרו את אי־השוויון: מתי תתקבל בבדיקה תוצאה שלילית?

תרגיל 4

בתוכנית חיסכון הריבית היא 6% לשנה.
בתוכנית הופקדו 10,000 ₪.

מהו מקדם הגדילה לחודש? עגלו לחמש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

כמה כסף יהיה בתוכנית אחרי 30 חודשים? עגלו לאגורות.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$