אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 20 מתוך 23לימוד

אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

תזכורת: אינטגרלים מכיתה י"א

בכיתה י"א למדתם:

$\displaystyle F$ היא פונקציה קדומה של $\displaystyle f$ כש- $\displaystyle {F'(x)}={f(x)}$ ; כל הפונקציות הקדומות נכתבות כאינטגרל לא מסוים, עם $\displaystyle +C$ .
אינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים, ומספר שכופל פונקציה יוצא מחוץ לאינטגרל.
כשהפונקציה הפנימית לינארית, מחלקים במקדם של $\displaystyle x$ :

\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C

אינטגרל מסוים: $\displaystyle {\int_a^b f(x)\,dx}={F(b)-F(a)}$ .

כל נגזרת חדשה מהשיעורים הקודמים נותנת אינטגרל חדש: הופכים את כלל הגזירה.

האינטגרלים של

\displaystyle e^x

ושל

\displaystyle e^{mx+b}

$\displaystyle {(e^x)'}={e^x}$ , ולכן $\displaystyle e^x$ היא פונקציה קדומה של עצמה:

\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C

\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C

בדוגמה שלפניכם נמצא אינטגרל של סכום, איבר אחר איבר:

\int\left(4e^{2x}-e^{-x}\right)dx=4\cdot\frac{e^{2x}}{2}-\frac{e^{-x}}{-1}+C=2e^{2x}+e^{-x}+C

בדיקה בגזירה: $\displaystyle {\left(2e^{2x}+e^{-x}\right)'}={4e^{2x}-e^{-x}}$ .

האינטגרל של

\displaystyle a^x

$\displaystyle {(a^x)'}={a^x\cdot\ln a}$ , ולכן הנגזרת של $\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}$ היא $\displaystyle a^x$ :

\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C

$\displaystyle {\int3^x\,dx}={\frac{3^x}{\ln3}+C}$ .
$\displaystyle {\int_0^1 2^x\,dx}={\left[\frac{2^x}{\ln2}\right]_0^1}={\frac{2-1}{\ln2}}={\frac{1}{\ln2}\approx1.44}$ .

האינטגרלים של

\displaystyle \frac{1}{x}

ושל

\displaystyle \frac{1}{mx+b}

$\displaystyle {(\ln x)'}={\frac{1}{x}}$ כש- $\displaystyle x>0$ , וגם $\displaystyle {\left(\ln(-x)\right)'}={\frac{-1}{-x}}={\frac{1}{x}}$ כש- $\displaystyle x<0$ . שני המקרים יחד נכתבים בערך מוחלט:

\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C

\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C

$\displaystyle {\int\frac{6}{2x-1}\,dx}={6\cdot\frac{\ln|2x-1|}{2}+C}={3\ln|2x-1|+C}$ .
בתחום שבו $\displaystyle x>0$ אפשר לכתוב $\displaystyle \ln x$ בלי ערך מוחלט.

אינטגרל לפי הנגזרת הפנימית

כשבתוך האינטגרל יש פונקציה פנימית $\displaystyle u(x)$ וגם הנגזרת שלה $\displaystyle u'(x)$ , הפונקציה הקדומה היא פונקציה מורכבת:

\displaystyle \int f(u(x))\cdot u'(x)\,dx=F(u(x))+C

שני מקרים חשובים:

\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C

\displaystyle \int f'(x)\cdot e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C

בדוגמאות שלפניכם נזהה את הפונקציה הפנימית ואת הנגזרת שלה:

$\displaystyle \int\frac{2x}{x^2+1}\,dx$ : הנגזרת של $\displaystyle x^2+1$ היא $\displaystyle 2x$ , ולכן התוצאה $\displaystyle \ln(x^2+1)+C$ . $\displaystyle x^2+1>0$ , ולכן אין צורך בערך מוחלט.
$\displaystyle \int xe^{x^2}\,dx$ : הנגזרת של $\displaystyle x^2$ היא $\displaystyle 2x$ , ובאינטגרל יש רק $\displaystyle x$ – חצי ממנה. לכן $\displaystyle {\int xe^{x^2}\,dx}={\frac{1}{2}\int2xe^{x^2}\,dx}={\frac{1}{2}e^{x^2}+C}$ .

בדיקה בגזירה: $\displaystyle {\left(\frac{1}{2}e^{x^2}\right)'}={\frac{1}{2}\cdot2x\cdot e^{x^2}}={xe^{x^2}}$ .

אינטגרל של פונקציה רציונלית

כשהמונה ממעלה גבוהה מהמכנה או שווה לו, מפרקים את השבר לסכום – וכל איבר הוא אינטגרל מוכר. בדוגמאות שלפניכם:

$\displaystyle {\int\frac{x^2+1}{x}\,dx}={\int\left(x+\frac{1}{x}\right)dx}={\frac{x^2}{2}+\ln|x|+C}$ .
$\displaystyle {\frac{2x+3}{x+1}}={\frac{2(x+1)+1}{x+1}}={2+\frac{1}{x+1}}$ , ולכן $\displaystyle {\int\frac{2x+3}{x+1}\,dx}={2x+\ln|x+1|+C}$ .

פונקציה לפי הנגזרת ונקודה

מכל הפונקציות הקדומות, דרך נקודה נתונה עוברת אחת בלבד. בדוגמה שלפניכם נמצא את הפונקציה $\displaystyle f$ שהנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={e^{2x}+\frac{1}{x}}$ בתחום $\displaystyle x>0$ , והגרף שלה עובר דרך הנקודה $\displaystyle \left(1,\frac{e^2}{2}+2\right)$ :

$\displaystyle {f(x)}={\frac{e^{2x}}{2}+\ln x+C}$ .
נציב את הנקודה: $\displaystyle {f(1)}={\frac{e^2}{2}+\ln1+C}={\frac{e^2}{2}+C}$ , ולכן $\displaystyle {\frac{e^2}{2}+C}={\frac{e^2}{2}+2}$ ו- $\displaystyle {C}={2}$ .
$\displaystyle {f(x)}={\frac{e^{2x}}{2}+\ln x+2}$ .

תרגיל 1

מצאו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

מצאו את האינטגרלים לפי הנגזרת הפנימית.

הנגזרת של $\displaystyle x^2+3x+1$ היא $\displaystyle 2x+3$ .

הנגזרת של $\displaystyle x^2-2x$ היא $\displaystyle 2x-2$ .

הנגזרת של $\displaystyle e^x+2$ היא $\displaystyle e^x$ .

הנגזרת של $\displaystyle x^3$ היא $\displaystyle 3x^2$ .

תרגיל 3

מצאו את האינטגרלים.

כתבו קודם את השבר כ- $\displaystyle 1+\frac{2}{x+1}$ .

תרגיל 4

חשבו את האינטגרלים. כתבו תוצאה מדויקת.

$\displaystyle {(\ln x)'}={\frac{1}{x}}$ , ולכן בתוך האינטגרל יש $\displaystyle f(x)\cdot f'(x)$ עם $\displaystyle {f(x)}={\ln x}$ , והפונקציה הקדומה היא $\displaystyle \frac{(\ln x)^2}{2}$ .

תרגיל 5

הנגזרת של פונקציה $\displaystyle f$ היא $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2}{x}-e^{-x}}$ , בתחום $\displaystyle x>0$ .
הגרף של $\displaystyle f$ עובר דרך הנקודה $\displaystyle \left(1,3+\frac{1}{e}\right)$ .

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f'$ .

הציבו את הנקודה ומצאו את $\displaystyle C$ .
כתבו את $\displaystyle f(x)$ .

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$