חקירת פונקציות מעריכיות

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 14 מתוך 23לימוד

חקירת פונקציות מעריכיות

שלבי החקירה

חוקרים פונקציה עם $\displaystyle e^x$ באותם שלבים כמו פונקציה רציונלית או פונקציית שורש בכיתה י"א:

תחום ההגדרה;
נקודות החיתוך עם הצירים;
אסימפטוטות – אנכיות, ואופקיות כש- $\displaystyle x$ רחוק מ-0;
$\displaystyle f'(x)$ : נקודות הקיצון ותחומי העלייה והירידה;
$\displaystyle f''(x)$ : תחומי הקעירות ונקודות הפיתול;
סקיצה של הגרף.

$\displaystyle e^{f(x)}>0$ לכל $\displaystyle x$ , ולכן הסימן של $\displaystyle e^{f(x)}\cdot g(x)$ הוא הסימן של $\displaystyle g(x)$ , והיא מתאפסת רק כש- $\displaystyle {g(x)}={0}$ . כדאי להוציא את $\displaystyle e^{f(x)}$ כגורם משותף ב- $\displaystyle f'$ וב- $\displaystyle f''$ .

\displaystyle e^x

גדלה מהר יותר מכל חזקה

כש- $\displaystyle x$ גדל, $\displaystyle e^x$ עוקפת כל חזקה של $\displaystyle x$ , גם אם בהתחלה החזקה גדולה יותר:

$\displaystyle {x}={5}$ : $\displaystyle {x^3}={125}$ , $\displaystyle e^x\approx148$ .
$\displaystyle {x}={10}$ : $\displaystyle {x^3}={1000}$ , $\displaystyle e^x\approx22{,}026$ .
$\displaystyle {x}={20}$ : $\displaystyle {x^3}={8000}$ , $\displaystyle e^x\approx485{,}165{,}195$ .

מכאן שתי עובדות שנשתמש בהן לאסימפטוטות:

כש- $\displaystyle x$ גדל בלי גבול, $\displaystyle {x^ne^{-x}}={\frac{x^n}{e^x}}$ מתקרבת ל-0.
כש- $\displaystyle x$ שלילי ורחוק מ-0, $\displaystyle x^ne^x$ מתקרבת ל-0.

חקירה של

\displaystyle x^2e^{-x}

בדוגמה שלפניכם נחקור את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2e^{-x}}$ :

תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$ .
חיתוך עם הצירים: $\displaystyle {x^2e^{-x}}={0}$ רק כש- $\displaystyle {x}={0}$ , ו- $\displaystyle f(x)\geq0$ לכל $\displaystyle x$ .
אסימפטוטה: כש- $\displaystyle x$ גדל, $\displaystyle \frac{x^2}{e^x}$ מתקרבת ל-0 – האסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$ בצד ימין. כש- $\displaystyle x$ שלילי ורחוק מ-0, $\displaystyle f(x)$ גדלה בלי גבול.
$\displaystyle {f'(x)}={2xe^{-x}-x^2e^{-x}}={e^{-x}(2x-x^2)}$ , ו- $\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש- $\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x}={2}$ .
מינימום $\displaystyle (0,0)$ , מקסימום $\displaystyle \left(2,\frac{4}{e^2}\right)\approx(2,0.541)$ .
$\displaystyle {f''(x)}={e^{-x}(2-2x)-e^{-x}(2x-x^2)}={e^{-x}(x^2-4x+2)}$ , ו- $\displaystyle {f''(x)}={0}$ כש- $\displaystyle {x}={2\pm\sqrt{2}}$ .

\displaystyle f(x)=x^{2}e^{-x}

\displaystyle M=(2,0.541)

\displaystyle P=(0.586,0.191)

\displaystyle Q=(3.414,0.384)

הגרף קעור כלפי מעלה כש- $\displaystyle x<2-\sqrt{2}$ או $\displaystyle x>2+\sqrt{2}$ , וקעור כלפי מטה כש- $\displaystyle 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}$ .
שתי נקודות פיתול: $\displaystyle (0.586,0.191)$ ו- $\displaystyle (3.414,0.384)$ , בקירוב.
נקודת הפיתול הימנית היא המקום שבו הגרף מפסיק להתכופף כלפי מטה ומתחיל להתקרב לאסימפטוטה.

קעירות משני צידי אסימפטוטה

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\frac{e^x}{x}}$ :

תחום ההגדרה: $\displaystyle x\neq0$ . האסימפטוטה האנכית: $\displaystyle {x}={0}$ .
כש- $\displaystyle x$ שלילי ורחוק מ-0, $\displaystyle e^x$ מתקרבת ל-0, ולכן גם $\displaystyle \frac{e^x}{x}$ : האסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$ בצד שמאל.
$\displaystyle {f'(x)}={\frac{e^x\cdot x-e^x}{x^2}}={\frac{e^x(x-1)}{x^2}}$ : מינימום $\displaystyle (1,e)$ .
$\displaystyle {f''(x)}={\frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}}$ . $\displaystyle x^2-2x+2>0$ לכל $\displaystyle x$ (הדיסקרימיננטה שלילית), ולכן הסימן של $\displaystyle f''$ הוא הסימן של $\displaystyle x^3$ .

\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}}{x}

\displaystyle x=0

\displaystyle M=(1,2.718)

קעורה כלפי מטה כש- $\displaystyle x<0$ , וקעורה כלפי מעלה כש- $\displaystyle x>0$ .
הקעירות מתחלפת ב- $\displaystyle {x}={0}$ , אבל אין שם נקודת פיתול: $\displaystyle {x}={0}$ לא בתחום ההגדרה.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={xe^x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ , והוציאו גורם משותף.

$\displaystyle f(x)=xe^{x}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ , והוציאו גורם משותף.

$\displaystyle f(x)=xe^{x}$

מצאו את התחום שבו הגרף קעור כלפי מעלה: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודת הפיתול.

\displaystyle f(x)=xe^{x}

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={e^{-\frac{x^2}{2}}}$ .
$\displaystyle {f'(x)}={-xe^{-\frac{x^2}{2}}}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ , והוציאו גורם משותף.

$\displaystyle f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות הפיתול.

\displaystyle f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x^2-3)e^x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ , והוציאו גורם משותף.

$\displaystyle f(x)=(x^{2}-3)e^{x}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ , והוציאו גורם משותף.

$\displaystyle f(x)=(x^{2}-3)e^{x}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון, את נקודות הפיתול ואת נקודות החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ .

\displaystyle f(x)=(x^{2}-3)e^{x}

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x-a)e^x}$ , ו- $\displaystyle a$ פרמטר.
לגרף של הפונקציה יש נקודת פיתול שבה $\displaystyle {x}={0}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=(x-a)e^{x}$

הציבו $\displaystyle {x}={0}$ ב- $\displaystyle {f''(x)}={0}$ , ופתרו את המשוואה: מצאו את $\displaystyle a$ .

הציבו את $\displaystyle a$ שמצאתם. $\displaystyle {f'(x)}={e^x(x-1)}$ .
חשבו את שיעור ה- $\displaystyle y$ של נקודת הקיצון, קבעו את סוגה, והסבירו.

$\displaystyle f(x)=(x-2)e^{x}$

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$