חקירת פונקציות לוגריתמיות

$\displaystyle \ln f(x)$ מוגדרת רק כש-$\displaystyle f(x)>0$. בקצה של תחום ההגדרה, שבו $\displaystyle f(x)$ מתקרבת ל-0, $\displaystyle \ln f(x)$ יורדת ל-$\displaystyle -\infty$, ולכן יש שם אסימפטוטה אנכית.

לדוגמה, $\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2-4x)}$:

• $\displaystyle x^2-4x>0$ כש-$\displaystyle x<0$ או $\displaystyle x>4$ – זה תחום ההגדרה;
• כש-$\displaystyle x$ מתקרב ל-0 משמאל או ל-4 מימין, $\displaystyle x^2-4x$ מתקרב ל-0 ו-$\displaystyle f(x)$ יורדת ל-$\displaystyle -\infty$;
• האסימפטוטות האנכיות: $\displaystyle {x}={0}$ ו-$\displaystyle {x}={4}$.

$\displaystyle \ln x$ שואפת לאינסוף, אבל לאט יותר מכל חזקה חיובית של $\displaystyle x$:

• כש-$\displaystyle x\to\infty$: $\displaystyle \frac{\ln x}{x}\to0$, וכך גם $\displaystyle \frac{\ln x}{x^n}$ ו-$\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.
• כש-$\displaystyle x\to0^+$: $\displaystyle x\ln x\to0$ – הגורם $\displaystyle x$ “מנצח” את $\displaystyle \ln x$, שיורדת ל-$\displaystyle -\infty$.

בעובדות האלה נשתמש כדי למצוא אסימפטוטות אופקיות ואת התנהגות הגרף בקצה התחום.

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\frac{\ln x}{x}}$, גם בעזרת הנגזרת השנייה:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle x>0$.
• חיתוך עם הצירים: $\displaystyle {\ln x}={0}$ כש-$\displaystyle {x}={1}$, כלומר $\displaystyle (1,0)$. אין חיתוך עם ציר ה-$\displaystyle y$.
• אסימפטוטות: כש-$\displaystyle x\to0^+$, $\displaystyle f(x)\to-\infty$ – אסימפטוטה אנכית $\displaystyle {x}={0}$; כש-$\displaystyle x\to\infty$, $\displaystyle f(x)\to0$ – אסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$.
• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}}={\frac{1-\ln x}{x^2}}$, ו-$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {\ln x}={1}$, כלומר $\displaystyle {x}={e}$.
• $\displaystyle f$ עולה כש-$\displaystyle 0<x<e$ ויורדת כש-$\displaystyle x>e$: מקסימום $\displaystyle \left(e,\frac{1}{e}\right)\approx(2.72,0.37)$.
• $\displaystyle {f''(x)}={\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\ln x)\cdot2x}{x^4}}={\frac{2\ln x-3}{x^3}}$, ו-$\displaystyle {f''(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {\ln x}={\frac{3}{2}}$, כלומר $\displaystyle {x}={e^{\frac{3}{2}}}$.

• כש-$\displaystyle 0<x<e^{\frac{3}{2}}$, $\displaystyle f''(x)<0$ – הפונקציה קעורה כלפי מטה; כש-$\displaystyle x>e^{\frac{3}{2}}$, $\displaystyle f''(x)>0$ – קעורה כלפי מעלה.
• נקודת פיתול: $\displaystyle \left(e^{\frac{3}{2}},\frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}}\right)\approx(4.48,0.33)$.

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={x\ln x}$:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle x>0$. כש-$\displaystyle x\to0^+$, $\displaystyle x\ln x\to0$: הגרף מתחיל ליד הראשית, בלי אסימפטוטה אנכית.
• חיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle {x\ln x}={0}$ כש-$\displaystyle {x}={1}$ (ה-$\displaystyle {x}={0}$ אינו בתחום).
• $\displaystyle {f'(x)}={\ln x+1}$, ו-$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {\ln x}={-1}$, כלומר $\displaystyle {x}={e^{-1}}$.
• $\displaystyle f$ יורדת כש-$\displaystyle 0<x<\frac{1}{e}$ ועולה כש-$\displaystyle x>\frac{1}{e}$: מינימום $\displaystyle \left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right)\approx(0.37,-0.37)$.
• $\displaystyle {f''(x)}={\frac{1}{x}>0}$ בכל התחום: הפונקציה קעורה כלפי מעלה, ואין לה נקודות פיתול.

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2+1)}$:

• $\displaystyle x^2+1>0$ לכל $\displaystyle x$, ולכן תחום ההגדרה הוא כל $\displaystyle x$, ואין אסימפטוטה אנכית.
• $\displaystyle {f(-x)}={\ln((-x)^2+1)}={f(x)}$: הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי ביחס לציר ה-$\displaystyle y$.
• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2x}{x^2+1}}$: $\displaystyle f$ יורדת כש-$\displaystyle x<0$ ועולה כש-$\displaystyle x>0$, מינימום $\displaystyle (0,0)$.
• $\displaystyle {f''(x)}={\frac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}}={\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}}$, ו-$\displaystyle {f''(x)}={0}$ כש-$\displaystyle {x}={\pm1}$.
• קעורה כלפי מעלה כש-$\displaystyle -1<x<1$, וקעורה כלפי מטה כש-$\displaystyle x<-1$ או $\displaystyle x>1$.
• נקודות פיתול: $\displaystyle (-1,\ln2)$ ו-$\displaystyle (1,\ln2)$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x-\ln x}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$.
הסבירו מדוע לפונקציה אין נקודות פיתול, וקבעו את סוג נקודת הקיצון.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2-4x+5)}$.

מצאו את תחום ההגדרה: פתרו את אי־השוויון.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$, ופשטו את המונה.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות הפיתול.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(\ln x)^2}$, בתחום $\displaystyle x>0$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$.

מצאו את התחום שבו הפונקציה קעורה כלפי מעלה: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודת הפיתול.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2+a)}$, ו-$\displaystyle a>0$ פרמטר.
לפונקציה יש נקודת פיתול שבה $\displaystyle {x}={3}$.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$.

מצאו את $\displaystyle a$.

הציבו את $\displaystyle a$ שמצאתם, וסמנו על הגרף את שתי נקודות הפיתול.