חוקי הלוגריתמים ומעבר מבסיס לבסיס

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 23לימוד

חוקי הלוגריתמים ומעבר מבסיס לבסיס

לוגריתם של מכפלה

לוגריתם הוא מעריך, ולכן חוקי החזקות נותנים חוקים ללוגריתמים. כשכופלים חזקות, המעריכים מתחברים – ולכן הלוגריתמים מתחברים:

\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y

\displaystyle =

\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)

\displaystyle x>0,\ y>0

נסמן $\displaystyle {m}={\log_a x}$ ו- $\displaystyle {n}={\log_a y}$ , כלומר $\displaystyle {x}={a^m}$ ו- $\displaystyle {y}={a^n}$ .
$\displaystyle {x\cdot y}={a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}$ , ולכן $\displaystyle {\log_a(x\cdot y)}={m+n}$ .

מנה, חזקה ושורש

באותה דרך, חוק המנה וחוק החזקה של חזקה נותנים:

\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y

\displaystyle =

\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)

\displaystyle x>0,\ y>0

\displaystyle \log_{a}(x^{b})

\displaystyle =

\displaystyle b\cdot\log_{a}x

\displaystyle x>0

שורש הוא חזקה, ולכן $\displaystyle {\log_a\sqrt[n]{x}}={\frac{1}{n}\log_a x}$ .
$\displaystyle {\log_a\frac{1}{x}}={-\log_a x}$ .
אין חוק ללוגריתם של סכום: $\displaystyle \log_a(x+y)$ אינו $\displaystyle \log_a x+\log_a y$ .

דוגמה פתורה: חישוב

בדוגמה שלפניכם נחשב את $\displaystyle \log_{2}40-2\log_{2}\sqrt{5}$ ונאחד את הלוגריתמים ללוגריתם אחד:

$\displaystyle {2\log_{2}\sqrt{5}}={\log_{2}(\sqrt{5})^{2}}={\log_{2}5}$ .
$\displaystyle {\log_{2}40-\log_{2}5}={\log_{2}\frac{40}{5}}={\log_{2}8}={3}$ .

מעבר מבסיס לבסיס

לוגריתם לפי בסיס אחד הוא מנה של שני לוגריתמים לפי כל בסיס אחר $\displaystyle c$ :

\displaystyle \log_{a}x

\displaystyle =

\displaystyle \frac{\log_{c}x}{\log_{c}a}

\displaystyle c>0,\ c\neq1

נסמן $\displaystyle {y}={\log_a x}$ , כלומר $\displaystyle {a^y}={x}$ .
לוגריתם לפי הבסיס $\displaystyle c$ של שני האגפים: $\displaystyle {y\cdot\log_c a}={\log_c x}$ , ולכן $\displaystyle {y}={\frac{\log_c x}{\log_c a}}$ .
$\displaystyle {\log_{8}32}={\frac{\log_{2}32}{\log_{2}8}}={\frac{5}{3}}$ .
כש- $\displaystyle {c}={b}$ מתקבל $\displaystyle {\log_a b}={\frac{1}{\log_b a}}$ : למשל $\displaystyle {\log_{9}3}={\frac{1}{2}}$ ו- $\displaystyle {\log_{3}9}={2}$ .

לוגריתם בכל בסיס במחשבון

המעבר לבסיס 10 מחשב כל לוגריתם במקש $\displaystyle \log$ :

\log_{3}20=\frac{\log20}{\log3}\approx2.727

עגלו רק בסוף, אחרי החילוק.
בדיקה: $\displaystyle 3^{2.727}$ קרוב ל-20.

הבעה בעזרת פרמטר

נתון ש- $\displaystyle {\log_{2}5}={a}$ .
בדוגמה שלפניכם נביע לוגריתמים אחרים בעזרת $\displaystyle a$ , בעזרת המספרים 2 ו-5 שבהם:

$\displaystyle {\log_{2}40}={\log_{2}(8\cdot5)}={\log_{2}8+\log_{2}5}={3+a}$ .
$\displaystyle {\log_{2}0.2}={\log_{2}\frac{1}{5}}={-a}$ .
$\displaystyle {\log_{5}2}={\frac{1}{\log_{2}5}}={\frac{1}{a}}$ .

תרגיל 1

חשבו בעזרת חוקי הלוגריתמים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

חשבו בעזרת מעבר מבסיס לבסיס.

תרגיל 3

כתבו כמנה של לוגריתמים לפי הבסיס 10, וחשבו במחשבון.
עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה, בשורה עם $\displaystyle \approx$ .

תרגיל 4

נתון ש- $\displaystyle {\log_{2}3}={a}$ .
בסעיפים 1–3 כתבו כל לוגריתם בעזרת $\displaystyle \log_{2}3$ ומספרים.

כתבו את שלוש התוצאות בעזרת $\displaystyle a$ .
הביעו גם את $\displaystyle \log_{3}2$ בעזרת $\displaystyle a$ .

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$