חוקי החזקות ומעריך רציונלי

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 23לימוד

חוקי החזקות ומעריך רציונלי

חוקי החזקות

בחזקה $\displaystyle a^x$ , $\displaystyle a$ הוא הבסיס ו- $\displaystyle x$ הוא המעריך. חוקי החזקות הופכים כפל וחילוק של חזקות עם אותו בסיס לחיבור ולחיסור של המעריכים.

\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}

\displaystyle =

\displaystyle a^{x+y}

\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}

\displaystyle =

\displaystyle a^{x-y}

\displaystyle (a^{x})^{y}

\displaystyle =

\displaystyle a^{x\cdot y}

\displaystyle (a\cdot b)^{x}

\displaystyle =

\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}

מעריך 0 ומעריך שלילי

חוק המנה קובע מה הם $\displaystyle a^0$ ו- $\displaystyle a^{-x}$ : $\displaystyle {\frac{a^{5}}{a^{5}}}={a^{0}}$ שווה ל-1, ו- $\displaystyle {\frac{a^{2}}{a^{6}}}={a^{-4}}$ שווה ל- $\displaystyle \frac{1}{a^{4}}$ .

\displaystyle a^{0}

\displaystyle =

\displaystyle 1

\displaystyle a\neq0

\displaystyle a^{-x}

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{a^{x}}

$\displaystyle {5^{-2}}={\frac{1}{25}}$ .
$\displaystyle {\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}}={\frac{4}{3}}$ : מעריך שלילי הופך את השבר.

חזקה עם מעריך רציונלי

שבר במעריך הוא שורש: המכנה של השבר הוא סדר השורש, והמונה הוא החזקה.

\displaystyle a^{\frac{m}{n}}

\displaystyle =

\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}

\displaystyle a>0

$\displaystyle {32^{\frac{2}{5}}}={\left(\sqrt[5]{32}\right)^{2}}={2^{2}}={4}$ : נוח להוציא קודם את השורש, ורק אחר כך להעלות בחזקה.
$\displaystyle {9^{-\frac{3}{2}}}={\frac{1}{\left(\sqrt{9}\right)^{3}}}={\frac{1}{27}}$ .
כל שורש הוא חזקה: $\displaystyle {\sqrt{x}}={x^{\frac{1}{2}}}$ , $\displaystyle {\sqrt[3]{x^{2}}}={x^{\frac{2}{3}}}$ , $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt[4]{x}}}={x^{-\frac{1}{4}}}$ .
כל חוקי החזקות נכונים גם למעריכים רציונליים.
בדף הנוסחאות הבסיס חיובי. כשהשבר מצומצם והמכנה שלו אי־זוגי, יש ערך גם לבסיס שלילי: $\displaystyle {(-8)^{\frac{1}{3}}}={\sqrt[3]{-8}}={-2}$ .

בסיס משותף

חזקות עם בסיסים שונים הופכים לחזקות של בסיס אחד: $\displaystyle {4}={2^2}$ , $\displaystyle {8}={2^3}$ , $\displaystyle {\frac{1}{16}}={2^{-4}}$ , $\displaystyle {\sqrt{2}}={2^{\frac{1}{2}}}$ . אחרי זה חוקי החזקות עובדים.

$\displaystyle {8^{x}}={(2^{3})^{x}}={2^{3x}}$ , ו- $\displaystyle {\frac{1}{4^{x}}}={2^{-2x}}$ .
השוואה: איזה מספר גדול יותר, $\displaystyle 2^{30}$ או $\displaystyle 3^{20}$ ? כותבים את שניהם עם המעריך 10: $\displaystyle {2^{30}}={(2^{3})^{10}}={8^{10}}$ ו- $\displaystyle {3^{20}}={(3^{2})^{10}}={9^{10}}$ . לכן $\displaystyle 3^{20}>2^{30}$ .

דוגמה פתורה: מספר

בדוגמה שלפניכם נחשב את $\displaystyle \frac{4^{\frac{3}{2}}\cdot8^{-\frac{1}{3}}}{16^{\frac{1}{4}}}$ , ונכתוב את כל הבסיסים כחזקות של 2:

\frac{4^{\frac{3}{2}}\cdot8^{-\frac{1}{3}}}{16^{\frac{1}{4}}}=\frac{(2^{2})^{\frac{3}{2}}\cdot(2^{3})^{-\frac{1}{3}}}{(2^{4})^{\frac{1}{4}}}=\frac{2^{3}\cdot2^{-1}}{2^{1}}=2^{3-1-1}=2

דוגמה פתורה: אותיות

בדוגמה שלפניכם נפשט ביטוי שבו $\displaystyle a>0$ . נכתוב את השורשים כחזקות, ונחבר ונחסר את המעריכים:

\frac{\sqrt[3]{a^{2}}\cdot\sqrt{a}}{a^{\frac{1}{6}}}=\frac{a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}=a^{\frac{4+3-1}{6}}=a^{1}=a

תרגיל 1

חשבו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

בכל הביטויים $\displaystyle x>0$ .
פשטו.

תרגיל 3

הערך של כל ביטוי זהה לכל $\displaystyle x$ .
מצאו אותו.

תרגיל 4

כתבו כחזקה אחת.

כחזקה של 2.

כחזקה של 5.

איזה מספר גדול יותר, $\displaystyle 5^{30}$ או $\displaystyle 2^{70}$ ?
הסבירו בעזרת מעריך משותף.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$