משוואות ואי־שוויונות לוגריתמיים

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 5 מתוך 23לימוד

משוואות ואי־שוויונות לוגריתמיים

תחום ההגדרה קודם

לוגריתם מוגדר רק למספר חיובי. לכן משוואה לוגריתמית פותרים בתחום ההגדרה שלה, ומוצאים אותו לפני שמתחילים:

ב- $\displaystyle \log_{2}(x+2)+\log_{2}(x-2)$ צריך $\displaystyle x+2>0$ וגם $\displaystyle x-2>0$ , כלומר $\displaystyle x>2$ .
חוקי הלוגריתמים יכולים להרחיב את התחום: $\displaystyle \log_{2}\left((x+2)(x-2)\right)$ מוגדר גם כש- $\displaystyle x<-2$ . פתרון שמחוץ לתחום של המשוואה המקורית נפסל.

לוגריתם אחד בכל אגף

$\displaystyle \log_a x$ עולה או יורדת, ולכן מקבלת כל ערך פעם אחת. כשבכל אגף לוגריתם אחד באותו בסיס, או לוגריתם ומספר:

\displaystyle \log_{a}f(x)=\log_{a}g(x)\iff f(x)=g(x)

\displaystyle f(x)>0,\ g(x)>0

\displaystyle \log_{a}f(x)=c\iff f(x)=a^{c}

דוגמה פתורה: סכום של לוגריתמים

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {\log_{2}(x+2)+\log_{2}(x-2)}={5}$ :

תחום ההגדרה: $\displaystyle x>2$ .
לוגריתם של מכפלה: $\displaystyle {\log_{2}(x^{2}-4)}={5}$ , ולכן $\displaystyle {x^{2}-4}={2^{5}}={32}$ .
$\displaystyle {x^{2}}={36}$ , כלומר $\displaystyle {x}={6}$ או $\displaystyle {x}={-6}$ .
$\displaystyle -6$ מחוץ לתחום ההגדרה. הפתרון: $\displaystyle {x}={6}$ .

בסיסים שונים

כשהבסיסים שונים, מעבירים את כל הלוגריתמים לבסיס אחד. בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {\log_{3}(x-1)+\log_{9}(x-1)}={3}$ , בתחום $\displaystyle x>1$ :

$\displaystyle {\log_{9}(x-1)}={\frac{\log_{3}(x-1)}{\log_{3}9}}={\frac{1}{2}\log_{3}(x-1)}$ .
$\displaystyle {\frac{3}{2}\log_{3}(x-1)}={3}$ , ולכן $\displaystyle {\log_{3}(x-1)}={2}$ .
$\displaystyle {x-1}={9}$ , ו- $\displaystyle {x}={10}$ .

ההצבה

\displaystyle {t}={\log_a x}

כשמופיעים במשוואה $\displaystyle \log_a x$ ו- $\displaystyle (\log_a x)^2$ , מציבים $\displaystyle {t}={\log_a x}$ . בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {(\log_{2}x)^{2}-\log_{2}x-6}={0}$ , בתחום $\displaystyle x>0$ :

$\displaystyle {t^{2}-t-6}={0}$ , ולכן $\displaystyle {t}={3}$ או $\displaystyle {t}={-2}$ .
$\displaystyle {\log_{2}x}={3}$ נותן $\displaystyle {x}={8}$ ; $\displaystyle {\log_{2}x}={-2}$ נותן $\displaystyle {x}={\frac{1}{4}}$ .
$\displaystyle t$ יכול להיות שלילי: $\displaystyle \log_a x$ מקבלת כל ערך.

משוואה מעריכית עם בסיסים שונים

כשאי אפשר לכתוב את שני האגפים כחזקות של אותו בסיס, לוקחים לוגריתם של שני האגפים. בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {2^{x}}={5^{x-1}}$ :

$\displaystyle {\log2^{x}}={\log5^{x-1}}$ , כלומר $\displaystyle {x\log2}={(x-1)\log5}$ .
$\displaystyle {x\log5-x\log2}={\log5}$ , ולכן $\displaystyle {x}={\frac{\log5}{\log5-\log2}\approx1.756}$ .

אי־שוויונות לוגריתמיים

כמו באי־שוויון מעריכי: כש- $\displaystyle a>1$ הסימן נשמר, וכש- $\displaystyle 0<a<1$ הוא מתהפך – ובנוסף, הפתרון בתוך תחום ההגדרה. בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}(x-1)>-2$ :

תחום ההגדרה: $\displaystyle x>1$ .
$\displaystyle {-2}={\log_{\frac{1}{2}}4}$ , כי $\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}={4}$ .
הבסיס $\displaystyle \frac{1}{2}$ קטן מ-1, ולכן הסימן מתהפך: $\displaystyle x-1<4$ , כלומר $\displaystyle x<5$ .
יחד עם תחום ההגדרה: $\displaystyle 1<x<5$ .

תרגיל 1

פתרו.

תרגיל 2

פתרו בעזרת מעבר מבסיס לבסיס.

תרגיל 3

פתרו בעזרת הצבה.

תרגיל 4

פתרו בעזרת לוגריתם לפי הבסיס 10 של שני האגפים.

תרגיל 5

פתרו את אי־השוויונות.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$