הפונקציה הלוגריתמית

הפונקציה $\displaystyle {y}={\log_a x}$ היא הפונקציה ההפוכה של $\displaystyle {y}={a^x}$: היא מחזירה מהתוצאה למעריך.

• $\displaystyle {2^3}={8}$, ולכן $\displaystyle {\log_2 8}={3}$: הנקודה $\displaystyle (3,8)$ על הגרף של $\displaystyle 2^x$, והנקודה $\displaystyle (8,3)$ על הגרף של $\displaystyle \log_2 x$.
• כך בכל נקודה: $\displaystyle (x,y)$ על הגרף של $\displaystyle a^x$ בדיוק כש-$\displaystyle (y,x)$ על הגרף של $\displaystyle \log_a x$.

• החלפת $\displaystyle x$ ו-$\displaystyle y$ היא שיקוף בישר $\displaystyle {y}={x}$: הנקודה $\displaystyle A(1,2)$ עוברת ל-$\displaystyle B(2,1)$.
• לכן הגרף של $\displaystyle \log_2 x$ הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle 2^x$ בישר $\displaystyle {y}={x}$.

כל תכונה של $\displaystyle a^x$ עוברת, בשיקוף, לתכונה של $\displaystyle \log_a x$ ($\displaystyle a>0$, $\displaystyle a\neq1$):

• תחום ההגדרה: $\displaystyle x>0$ – כי $\displaystyle a^x$ מקבלת רק ערכים חיוביים.
• הפונקציה מקבלת כל ערך $\displaystyle y$.
• הגרף עובר דרך $\displaystyle (1,0)$, כי $\displaystyle {\log_a1}={0}$, ודרך $\displaystyle (a,1)$, כי $\displaystyle {\log_a a}={1}$.
• האסימפטוטה האנכית: $\displaystyle {x}={0}$ – השיקוף של האסימפטוטה האופקית $\displaystyle {y}={0}$ של $\displaystyle a^x$.
• כש-$\displaystyle a>1$ הפונקציה עולה; כש-$\displaystyle 0<a<1$ היא יורדת.

לפי מעבר מבסיס לבסיס, $\displaystyle {\log_{\frac{1}{a}}x}={\frac{\log_a x}{\log_a\frac{1}{a}}}={\frac{\log_a x}{-1}}$:

• הגרף של $\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}x$ הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle \log_2 x$ בציר ה-$\displaystyle x$; כך גם $\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}x$ ו-$\displaystyle \log_3 x$ (מקווקווים).
• כל ארבעת הגרפים עוברים דרך $\displaystyle (1,0)$.
• $\displaystyle \log_3 x$ עולה לאט יותר מ-$\displaystyle \log_2 x$ כש-$\displaystyle x>1$: $\displaystyle {\log_2 8}={3}$, אבל $\displaystyle \log_3 8<2$.

$\displaystyle \log_a f(x)$ מוגדרת רק כש-$\displaystyle f(x)>0$. כדי למצוא את תחום ההגדרה פותרים את אי־השוויון $\displaystyle f(x)>0$.

• $\displaystyle \log_3(5-x)$: $\displaystyle 5-x>0$, כלומר $\displaystyle x<5$.
• $\displaystyle \log_2(x^2-4x)$: $\displaystyle x^2-4x>0$, כלומר $\displaystyle x(x-4)>0$ – $\displaystyle x<0$ או $\displaystyle x>4$.
• $\displaystyle \log_2(x^2+1)$: $\displaystyle x^2+1>0$ לכל $\displaystyle x$, ולכן הפונקציה מוגדרת לכל $\displaystyle x$.

בדוגמה שלפניכם נחקור שתי טרנספורמציות של $\displaystyle \log_2 x$:

• $\displaystyle {f(x)}={\log_2(x-3)+1}$: הזזה ימינה ב-3 ולמעלה ב-1. תחום ההגדרה $\displaystyle x>3$, והאסימפטוטה האנכית $\displaystyle {x}={3}$.
• נקודת החיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle {\log_2(x-3)}={-1}$, כלומר $\displaystyle {x-3}={\frac{1}{2}}$ ו-$\displaystyle {x}={3.5}$. עם ציר ה-$\displaystyle y$ אין חיתוך, כי $\displaystyle {x}={0}$ לא בתחום ההגדרה.
• $\displaystyle {g(x)}={\log_2(-x)}$: שיקוף של $\displaystyle \log_2 x$ בציר ה-$\displaystyle y$. תחום ההגדרה $\displaystyle x<0$, והגרף עובר דרך $\displaystyle (-1,0)$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\log_3(x+2)-1}$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה: כתבו אי־שוויון ופתרו אותו.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$\displaystyle x$: פתרו את המשוואה.

כתבו את משוואת האסימפטוטה האנכית, וסמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם הצירים.

מצאו את תחום ההגדרה: כתבו אי־שוויון ופתרו אותו.

$\displaystyle {f(x)}={\log_2(x^2-9)}$

$\displaystyle {g(x)}={\log(4x-x^2)}$

הגרף שבציור הוא גרף של פונקציה מהצורה $\displaystyle {y}={\log_a x}$.
הגרף עובר דרך הנקודה $\displaystyle (9,2)$.
מצאו את $\displaystyle a$, וכתבו את הפונקציה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\log_{\frac{1}{2}}x}$.

האם הפונקציה עולה או יורדת? הסבירו בעזרת $\displaystyle {\log_{\frac{1}{2}}x}={-\log_2 x}$.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)>-3$.

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={\log_2 x}$ ו-$\displaystyle {g(x)}={\log_2(8-x)}$.

מצאו את שיעור ה-$\displaystyle x$ של נקודת החיתוך של הגרפים: פתרו את המשוואה.

סמנו על הגרף את נקודת החיתוך.