הלוגריתם

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 23לימוד

הלוגריתם

מעריך שאינו מספר שלם

למשוואה $\displaystyle {2^x}={8}$ יש הפתרון $\displaystyle {x}={3}$ , כי $\displaystyle {2^3}={8}$ . גם למשוואה $\displaystyle {2^x}={7}$ יש פתרון אחד, כי $\displaystyle 2^x$ עולה ומקבלת כל ערך חיובי:

$\displaystyle {2^2}={4}$ ו- $\displaystyle {2^3}={8}$ , ולכן הפתרון בין 2 ל-3.
אין לו כתיבה כשבר או כשורש, ולכן נותנים לו שם: $\displaystyle \log_2 7$ – הלוגריתם של 7 לפי הבסיס 2.

הגדרת הלוגריתם

הלוגריתם של $\displaystyle b$ לפי הבסיס $\displaystyle a$ הוא המעריך שבו מעלים את $\displaystyle a$ כדי לקבל את $\displaystyle b$ :

\displaystyle \log_{a}b=x\iff a^{x}=b

\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ b>0

הבסיס חיובי ושונה מ-1, כמו בפונקציה המעריכית.
$\displaystyle b$ חיובי: $\displaystyle a^x$ חיובי לכל $\displaystyle x$ , ולכן ל- $\displaystyle \log_2 0$ ול- $\displaystyle \log_2(-4)$ אין ערך.

חישוב לוגריתם

כדי לחשב לוגריתם, כותבים את המספר כחזקה של הבסיס:

$\displaystyle {\log_{2}32}={5}$ , כי $\displaystyle {2^{5}}={32}$ .
$\displaystyle {\log_{\frac{1}{3}}9}={-2}$ , כי $\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}}={9}$ .
$\displaystyle {\log_{5}\sqrt{5}}={\frac{1}{2}}$ , כי $\displaystyle {5^{\frac{1}{2}}}={\sqrt{5}}$ .
$\displaystyle {\log_{4}8}={\frac{3}{2}}$ , כי $\displaystyle {4^{\frac{3}{2}}}={\left(\sqrt{4}\right)^{3}}={8}$ .

תכונות שנובעות מההגדרה

הלוגריתם והחזקה באותו בסיס מבטלים זה את זה:

\displaystyle \log_{a}(a^{b})

\displaystyle =

\displaystyle b

\displaystyle a^{\log_{a}x}

\displaystyle =

\displaystyle x

\displaystyle x>0

$\displaystyle {\log_a 1}={0}$ , כי $\displaystyle {a^0}={1}$ .
$\displaystyle {\log_a a}={1}$ , כי $\displaystyle {a^1}={a}$ .

הלוגריתם לפי הבסיס 10

הלוגריתם לפי הבסיס 10 נכתב בלי הבסיס: $\displaystyle {\log x}={\log_{10}x}$ . במחשבון יש לו מקש $\displaystyle \log$ .

$\displaystyle {\log1000}={3}$ ו- $\displaystyle {\log0.01}={-2}$ .
$\displaystyle \log50\approx1.699$ : $\displaystyle 10^{1.699}$ קרוב ל-50.

פתרון

\displaystyle {a^x}={b}

לפי ההגדרה, הפתרון של $\displaystyle {a^x}={b}$ הוא $\displaystyle {x}={\log_a b}$ . בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {4\cdot3^{x}}={20}$ :

מבודדים את החזקה: $\displaystyle {3^{x}}={5}$ .
לפי ההגדרה: $\displaystyle {x}={\log_{3}5}$ .
במחשבון עם מקש $\displaystyle \log_{\square}$ : $\displaystyle x\approx1.465$ . איך מחשבים זאת בעזרת המקש $\displaystyle \log$ בלבד – בשיעור הבא.

תרגיל 1

חשבו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

חשבו בעזרת התכונות שנובעות מההגדרה.

תרגיל 3

פתרו בעזרת הגדרת הלוגריתם.

תרגיל 4

פתרו.
כתבו את הפתרון בעזרת לוגריתם, אם אין לו כתיבה כמספר שלם או כשבר.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$