המספר e והלוגריתם הטבעי

שלושה בנקים מציעים להפקיד 1,000 ₪ לשנה אחת:

• בנק השפע: ריבית של 100% לשנה. בסוף השנה – $\displaystyle {1000\cdot2}={2000}$ ₪.
• בנק הצמיחה: ריבית של 50% לחצי שנה, פעמיים. בסוף השנה – $\displaystyle {1000\cdot1.5^2}={2250}$ ₪.
• בנק ההצלחה: ריבית של 25% לשלושה חודשים, ארבע פעמים. בסוף השנה – $\displaystyle 1000\cdot1.25^4\approx2441.41$ ₪.

ככל שהשנה מחולקת ליותר תקופות, הסכום גדל – אבל לא בלי גבול. כשמחלקים אותה ל-$\displaystyle n$ תקופות, הסכום הוא $\displaystyle 1000\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$:

• $\displaystyle {n}={12}$ (כל חודש): $\displaystyle \approx2613.04$ ₪.
• $\displaystyle {n}={365}$ (כל יום): $\displaystyle \approx2714.57$ ₪.
• $\displaystyle n$ גדול מאוד: הסכום מתקרב ל-$\displaystyle 2718.28$ ₪.

המספר ש-$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ מתקרב אליו נקרא $\displaystyle e$: $\displaystyle e\approx2.71828$. הוא קבוע, כמו $\displaystyle \pi$, ואינו שבר.

$\displaystyle e^x$ היא הפונקציה המעריכית שהבסיס שלה $\displaystyle e$. הלוגריתם לפי הבסיס $\displaystyle e$ נקרא הלוגריתם הטבעי, ומסמנים אותו $\displaystyle \ln$:

$\displaystyle e^x$ ו-$\displaystyle \ln x$ הפוכות זו לזו, ולכן הגרפים שלהן סימטריים ביחס לישר $\displaystyle {y}={x}$:

• $\displaystyle {e^{\ln x}}={x}$ לכל $\displaystyle x>0$, ו-$\displaystyle {\ln e^x}={x}$ לכל $\displaystyle x$.
• $\displaystyle {\ln1}={0}$ ו-$\displaystyle {\ln e}={1}$.
• חוקי הלוגריתמים נכונים גם ל-$\displaystyle \ln$: $\displaystyle {\ln(xy)}={\ln x+\ln y}$, $\displaystyle {\ln\frac{x}{y}}={\ln x-\ln y}$, $\displaystyle {\ln x^b}={b\ln x}$.
• במחשבון יש מקש $\displaystyle \ln$: $\displaystyle \ln2\approx0.693$.

כל מספר חיובי $\displaystyle a$ שווה ל-$\displaystyle e^{\ln a}$, ולכן:

• $\displaystyle {2^x}={e^{x\ln2}\approx e^{0.693x}}$.
• תהליך של גדילה ודעיכה $\displaystyle {f(t)}={f(0)\cdot q^t}$ אפשר לכתוב כ-$\displaystyle {f(t)}={f(0)\cdot e^{ct}}$, כש-$\displaystyle {c}={\ln q}$.
• $\displaystyle c>0$ (כלומר $\displaystyle q>1$) – גדילה; $\displaystyle c<0$ (כלומר $\displaystyle 0<q<1$) – דעיכה. ריבית של 5% לשנה: $\displaystyle {c}={\ln1.05\approx0.0488}$.

בדוגמאות שלפניכם נפתור משוואות בעזרת ההגדרה של $\displaystyle \ln$ והצבה:

• $\displaystyle {3e^x}={12}$: $\displaystyle {e^x}={4}$, ולכן $\displaystyle {x}={\ln4}$.
• $\displaystyle {\ln(x+1)}={2}$: $\displaystyle {x+1}={e^2}$, ולכן $\displaystyle {x}={e^2-1}$. בתחום ההגדרה, כי $\displaystyle {x+1}={e^2>0}$.
• $\displaystyle {e^{2x}-5e^x+6}={0}$: נציב $\displaystyle {t}={e^x}$, ונקבל $\displaystyle {t^2-5t+6}={0}$, כלומר $\displaystyle {t}={2}$ או $\displaystyle {t}={3}$.
• $\displaystyle {e^x}={2}$ או $\displaystyle {e^x}={3}$, ולכן $\displaystyle {x}={\ln2}$ או $\displaystyle {x}={\ln3}$.

בגדילה $\displaystyle {y}={A\cdot e^{ct}}$ קשה לקרוא מהגרף את $\displaystyle A$ ואת $\displaystyle c$. כשמציירים את $\displaystyle \ln y$ במקום את $\displaystyle y$, מקבלים קו ישר:

• השיפוע של הישר הוא $\displaystyle c$.
• הישר חותך את הציר האנכי ב-$\displaystyle \ln A$.

בתרבית חיידקים מדדו את מספר החיידקים $\displaystyle y$ וציירו את $\displaystyle \ln y$ כפונקציה של הזמן $\displaystyle t$ בשעות. התקבל ישר דרך $\displaystyle (0,3)$ ו-$\displaystyle (4,5)$. בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle A$ ואת $\displaystyle c$.

• השיפוע: $\displaystyle {c}={\frac{5-3}{4}}={0.5}$.
• $\displaystyle {\ln A}={3}$, ולכן $\displaystyle {A}={e^3\approx20.09}$.
• $\displaystyle {y}={e^3\cdot e^{0.5t}}$: בהתחלה היו כ-20 חיידקים.

חשבו.

פתרו את המשוואות.

כתבו את $\displaystyle 5^x$ כחזקה של $\displaystyle e$.

מספר החיידקים בתרבית הוא $\displaystyle {y}={A\cdot e^{ct}}$, כש-$\displaystyle t$ הזמן בשעות.
בגרף של $\displaystyle \ln y$ כפונקציה של $\displaystyle t$ נמצאות הנקודות $\displaystyle (0,2)$ ו-$\displaystyle (4,3.2)$.

כתבו את משוואת הישר שעובר דרך שתי הנקודות.

חשבו את $\displaystyle c$.

חשבו את $\displaystyle A$, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

מצאו את זמן ההכפלה של מספר החיידקים: פתרו את המשוואה.