דלג לתוכן

תרגול: נגזרות וחקירה

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 19 מתוך 23תרגול

תרגול: נגזרות וחקירה

1

גזרו. בסעיף ה – מצאו את הנגזרת השנייה.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            2

            נתונה הפונקציה f(x)=xln⁡x\displaystyle {f(x)}={x\ln x}.

            א

            חשבו את השיפוע של המשיק לגרף בנקודה שבה x=e\displaystyle {x}={e}.

            f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              f(e)=e\displaystyle {f(e)}={e}.
              כתבו את משוואת המשיק לגרף בנקודה (e,e)\displaystyle (e,e).

              f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x
              (2.718,2.718)\displaystyle (2.718,2.718)

              3

              נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)e−x\displaystyle {f(x)}={(x+1)e^{-x}}.

              א

              מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

              f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

                ג

                מצאו את f′′(x)\displaystyle f''(x).

                f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ד

                  מצאו את התחום שבו הפונקציה קעורה כלפי מעלה.

                    ה

                    סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודת הפיתול.

                    f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}

                    4

                    נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−1)\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2-1)}.

                    א

                    מצאו את תחום ההגדרה.

                      ב

                      מצאו את f′′(x)\displaystyle f''(x).

                      f(x)=ln⁡(x2−1)\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}-1)

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ג

                        הראו שהפונקציה קעורה כלפי מטה בכל תחום ההגדרה שלה.
                        האם הפונקציה זוגית? נמקו.

                        ד

                        הוסיפו שורה לכל אחת מהאסימפטוטות האנכיות.

                        f(x)=ln⁡(x2−1)\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}-1)

                        5

                        נתונות הפונקציות g(x)=ex2−2x\displaystyle {g(x)}={e^{x^2-2x}} ו-h(x)=ln⁡(x2−2x+2)\displaystyle {h(x)}={\ln(x^2-2x+2)}.

                        א

                        סמנו על הגרף את נקודת הקיצון של כל אחת מהפונקציות.

                        g(x)=ex2−2x\displaystyle g(x)=e^{x^{2}-2x}
                        h(x)=ln⁡(x2−2x+2)\displaystyle h(x)=\ln(x^{2}-2x+2)

                        ב

                        הסבירו, בלי לגזור, מדוע לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון באותו x\displaystyle x, ומדוע שתיהן מינימום.

                        6

                        בגרף שלפניכם מתוארת הנגזרת של פונקציה f\displaystyle f: f′(x)=g(x)=(x−2)ex\displaystyle {f'(x)}={g(x)}={(x-2)e^x}.

                        א

                        סמנו על הגרף של f′\displaystyle f' את הנקודה שבה x\displaystyle x הוא שיעור של נקודת הקיצון של f\displaystyle f, ואת הנקודה שבה x\displaystyle x הוא שיעור של נקודת הפיתול של f\displaystyle f.

                        g(x)=(x−2)ex\displaystyle g(x)=(x-2)e^{x}

                        ב

                        מצאו את תחום העלייה של f\displaystyle f.

                          ג

                          קבעו את סוג נקודת הקיצון של f\displaystyle f, ואת התחום שבו f\displaystyle f קעורה כלפי מעלה. נמקו לפי הגרף של f′\displaystyle f'.

                          7

                          נתונה הפונקציה f(x)=x2+aln⁡x\displaystyle {f(x)}={x^2+a\ln x}, ו-a\displaystyle a פרמטר.
                          לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2\displaystyle {x}={2}.

                          א

                          מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                          f(x)=x2+aln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}+a\ln x

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            ב

                            מצאו את a\displaystyle a.

                            ג

                            הציבו את a\displaystyle a שמצאתם, וחשבו את שיעור ה-y\displaystyle y של נקודת הקיצון.

                            f(x)=x2−8ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}-8\ln x

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              ד

                              סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.

                              f(x)=x2−8ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}-8\ln x

                              8

                              הריכוז של חומר בדם, t\displaystyle t שעות אחרי שנלקח, הוא C(t)=50te−0.25t\displaystyle {C(t)}={50te^{-0.25t}} מיליגרם לליטר (t≥0\displaystyle t\geq0).
                              מתי הריכוז הוא הגבוה ביותר, ומהו?

                              א

                              מצאו את C′(t)\displaystyle C'(t).

                              C(t)=50te−0.25t\displaystyle C(t)=50te^{-0.25t}

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                ב

                                פתרו את המשוואה C′(t)=0\displaystyle {C'(t)}={0}.

                                ג

                                חשבו את הריכוז הגבוה ביותר, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

                                C(t)=50te−0.25t\displaystyle C(t)=50te^{-0.25t}

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה