תרגול: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, גדילה ודעיכה

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 11 מתוך 23תרגול

תרגול: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, גדילה ודעיכה

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2^{x-1}-4}$ .

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $\displaystyle x$ : פתרו את המשוואה.

כתבו את משוואת האסימפטוטה האופקית, וסמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם הצירים.

\displaystyle f(x)=2^{x-1}-4

משקיעה הפקידה 15,000 ₪ בתוכנית חיסכון.
הריבית בתוכנית היא 3.5% לשנה.

כמה כסף יהיה בתוכנית אחרי 6 שנים? עגלו לאגורות.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

אחרי כמה שנים יוכפל הסכום שהופקד? פתרו את המשוואה, ועגלו את התשובה לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

לחומר רדיואקטיבי יש זמן מחצית חיים של 8 ימים.
במעבדה יש 200 גרם של החומר.

מהו מקדם הדעיכה ליום? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

כמה גרם של החומר יישארו אחרי 20 ימים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

אחרי כמה ימים יישארו 25 גרם? פתרו את המשוואה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {g(x)}={\log_2(x+4)-3}$ .

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה: כתבו אי־שוויון ופתרו אותו.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $\displaystyle x$ : פתרו את המשוואה.

כתבו את משוואת האסימפטוטה האנכית, וסמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם הצירים.

\displaystyle g(x)=\log_{2}(x+4)-3

פתרו את המשוואות.

בתרבית א’ יש 1,000 חיידקים, ומספרם מוכפל בכל שעה.
בתרבית ב’ יש 8,000 חיידקים, ומספרם גדל ב-50% בכל שעה.

אחרי כמה שעות יהיה מספר זהה של חיידקים בשתי התרביות? פתרו את המשוואה.

סמנו על הגרף את הנקודה שבה מספרי החיידקים שווים.

\displaystyle f(x)=1000\cdot2^{x}

\displaystyle g(x)=8000\cdot1.5^{x}

הכמות של חומר דועך היא $\displaystyle {m}={A\cdot e^{ct}}$ , כש- $\displaystyle t$ הזמן בשנים.
הגרף של $\displaystyle \ln m$ כפונקציה של $\displaystyle t$ הוא ישר שעובר דרך הנקודות $\displaystyle (0,3)$ ו- $\displaystyle (10,1)$ .

חשבו את $\displaystyle c$ .

חשבו את $\displaystyle A$ , ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

מצאו את זמן מחצית החיים של החומר: פתרו את המשוואה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={e^{x-2}}$ .
כתבו את הפונקציה ההפוכה שלה: הגרף שלה הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle f$ בישר $\displaystyle {y}={x}$ .

\displaystyle f(x)=e^{x-2}

\displaystyle y=x

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$