חזרה: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 23 מתוך 23תרגול

חזרה: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

פתרו. בלוגריתם – שימו לב לתחום ההגדרה.

בדם של חולה יש 4 מ"ג של תרופה.
זמן מחצית החיים של התרופה בדם הוא 3 שעות.

חשבו את מקדם הדעיכה לשעה. עגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה מ"ג של תרופה יהיו בדם אחרי 6 שעות?

בדיקת דם מגלה את התרופה כשיש בדם לפחות 0.1 מ"ג ממנה.
אחרי כמה שעות הבדיקה כבר לא תגלה את התרופה? פתרו את המשוואה, ואז חשבו את הזמן ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x^2-3)e^x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ . הוציאו גורם משותף, ופרקו לגורמים.

$\displaystyle f(x)=(x^{2}-3)e^{x}$

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוג כל אחת.

$\displaystyle f(x)=(x^{2}-3)e^{x}$

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=(x^{2}-3)e^{x}$

מצאו את שיעורי ה- $\displaystyle x$ של נקודות הפיתול: פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

כש- $\displaystyle x$ שלילי ורחוק מ-0, $\displaystyle (x^2-3)e^x$ קרובה ל-0, ולכן $\displaystyle {y}={0}$ אסימפטוטה אופקית משמאל.
סמנו על הגרף את נקודות הקיצון ואת נקודות הפיתול.

\displaystyle f(x)=(x^{2}-3)e^{x}

\displaystyle y=0

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\ln(x^2-4x+5)}$ .

הסבירו למה הפונקציה מוגדרת לכל $\displaystyle x$ .
בלי נגזרת: מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. היעזרו בפרבולה $\displaystyle {y}={x^2-4x+5}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}-4x+5)$

$\displaystyle {f''(x)}={\frac{-2x^2+8x-6}{(x^2-4x+5)^2}}$ .
מצאו את התחום שבו הפונקציה קעורה כלפי מעלה: פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות הפיתול.

\displaystyle f(x)=\ln(x^{2}-4x+5)

בציור הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={e^{2-x}}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={e^x}$ .
השטח המסומן מוגבל על ידי שני הגרפים וציר ה- $\displaystyle y$ .

\displaystyle f(x)=e^{2-x}

\displaystyle g(x)=e^{x}

מצאו את שיעור ה- $\displaystyle x$ של נקודת המפגש של שני הגרפים.

חשבו את השטח המסומן: כתבו את האינטגרל וחשבו אותו.

אינטגרלים: פונקציה לפי הנגזרת שלה, וכמות שמצטברת.

הנגזרת של הפונקציה $\displaystyle f$ היא $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2x}{x^2+1}+e^{-x}}$ .
הגרף של $\displaystyle f$ עובר בראשית, $\displaystyle (0,0)$ .
חשבו את האינטגרל, ואז מצאו את $\displaystyle C$ וכתבו את $\displaystyle f(x)$ .

מים זורמים לבריכה בקצב $\displaystyle {r(t)}={50e^{-0.1t}}$ ליטר בדקה, $\displaystyle t$ דקות אחרי שפתחו את הברז.
כמה ליטר זרמו לבריכה ב-10 הדקות הראשונות? חשבו את הערך המדויק, ואז עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$