משפט חוצה הזווית

משפט חוצה הזווית: חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים, שהיחס ביניהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות את הזווית.

נתון: $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ במשולש $\displaystyle ABC$, ו-$\displaystyle D$ על $\displaystyle BC$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB}{AC}}$.

בהוכחה שלפניכם נעביר דרך $\displaystyle C$ ישר המקביל ל-$\displaystyle AD$, עד הנקודה $\displaystyle E$ על המשך הצלע $\displaystyle BA$. נראה ש-$\displaystyle {AE}={AC}$, ואז נשתמש במשפט תאלס במשולש $\displaystyle BEC$.

$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ במשולש $\displaystyle ABC$, ו-$\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle BC$.

$\displaystyle {AB}={6}$, $\displaystyle {AC}={9}$ ו-$\displaystyle {BC}={10}$.
מצאו את $\displaystyle BD$.
(רמז: $\displaystyle {BD}={x}$, ואז $\displaystyle {DC}={10-x}$.)

$\displaystyle {AB}={8}$, $\displaystyle {BD}={4}$ ו-$\displaystyle {DC}={6}$.
מצאו את $\displaystyle AC$.

המשפט ההפוך: ישר שעובר דרך קודקוד של משולש ומחלק את הצלע שמולו חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות חוצה את הזווית שבקודקוד הזה.

במשולש $\displaystyle ABC$: אם $\displaystyle D$ על $\displaystyle BC$ ו-$\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB}{AC}}$, אז $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$.

בהוכחה שלפניכם נראה שחוצה הזווית $\displaystyle A$ מגיע ל-$\displaystyle BC$ בדיוק בנקודה $\displaystyle D$:

• חוצה הזווית $\displaystyle A$ פוגש את $\displaystyle BC$ בנקודה $\displaystyle D'$;
• לפי משפט חוצה הזווית $\displaystyle {\frac{BD'}{D'C}}={\frac{AB}{AC}}$, ולכן $\displaystyle {\frac{BD'}{D'C}}={\frac{BD}{DC}}$;
• נוסיף $\displaystyle 1$ לשני האגפים: $\displaystyle {\frac{BC}{D'C}}={\frac{BC}{DC}}$, ולכן $\displaystyle {D'C}={DC}$;
• $\displaystyle D'$ ו-$\displaystyle D$ שתיהן על הקטע $\displaystyle BC$, באותו מרחק מ-$\displaystyle C$ – הן נקודה אחת, ו-$\displaystyle AD$ הוא חוצה הזווית.

במשולש $\displaystyle ABC$, $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle BC$.
$\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB}{AC}}$.
הוכיחו: $\displaystyle {\angle BAD}={\angle DAC}$.

$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ במשולש $\displaystyle ABC$, ו-$\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle BC$.
$\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$, ו-$\displaystyle DE\parallel AB$.
הוכיחו: $\displaystyle {AE}={DE}$.

במשולש $\displaystyle ABC$, $\displaystyle {AB}={12}$, $\displaystyle {AC}={8}$ ו-$\displaystyle {BC}={10}$.
$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$, ו-$\displaystyle D$ על $\displaystyle BC$.
$\displaystyle BE$ חוצה את הזווית $\displaystyle B$, ו-$\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$.
חוצי הזוויות נחתכים בנקודה $\displaystyle I$.

במשולש $\displaystyle ABC$, $\displaystyle {AB}={AC}$, ו-$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$.
מה אומר משפט חוצה הזווית על הנקודה $\displaystyle D$?
עם איזה משפט על משולש שווה שוקיים זה מתיישב?