קשתות, מיתרים וזוויות מרכזיות

מעגל הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שנמצאות במרחק נתון מנקודה נתונה: הנקודה היא המרכז, והמרחק הוא הרדיוס.

• רדיוס – קטע מהמרכז לנקודה על המעגל, כמו $\displaystyle OA$.
• מיתר – קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל, כמו $\displaystyle BC$.
• קוטר – מיתר שעובר דרך המרכז, כמו $\displaystyle DE$; האורך שלו שני רדיוסים.
• קשת – חלק של המעגל בין שתיים מהנקודות שלו; שתי נקודות מחלקות את המעגל לשתי קשתות.
• זווית מרכזית – זווית שהקודקוד שלה במרכז והשוקיים שלה רדיוסים, כמו $\displaystyle \angle BOC$. היא נשענת על הקשת שבתוכה, והקשת נמדדת לפיה: קשת של $\displaystyle 80^{\circ}$ היא הקשת של זווית מרכזית של $\displaystyle 80^{\circ}$.

משפט: במעגל, זוויות מרכזיות שוות נשענות על קשתות שוות ועל מיתרים שווים.

נתון: $\displaystyle O$ מרכז המעגל; $\displaystyle {\angle AOB}={\angle COD}$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={CD}$.

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים $\displaystyle AOB$ ו-$\displaystyle COD$ חופפים (צ.ז.צ) – הצלעות שלהם שיוצאות מ-$\displaystyle O$ הן רדיוסים:

גם המשפט ההפוך נכון: במעגל, מיתרים שווים נשענים על זוויות מרכזיות שוות ועל קשתות שוות (תרגיל 1). לכן במעגל אחד – או בשני מעגלים שהרדיוסים שלהם שווים – זוויות מרכזיות שוות, קשתות שוות ומיתרים שווים באים יחד.

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, ו-$\displaystyle {AB}={CD}$.
הוכיחו: $\displaystyle {\angle AOB}={\angle COD}$.

משפט: האנך שיורד ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית שנשענת על המיתר וחוצה את הקשת שהמיתר נשען עליה.

נתון: $\displaystyle AB$ מיתר במעגל שמרכזו $\displaystyle O$; $\displaystyle OM\perp AB$, ו-$\displaystyle M$ על $\displaystyle AB$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AM}={MB}$ ו-$\displaystyle {\angle AOM}={\angle BOM}$.

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים ישרי הזווית $\displaystyle OMA$ ו-$\displaystyle OMB$ חופפים לפי משפט החפיפה הרביעי – שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן, כאן הזווית הישרה:

הזוויות המרכזיות $\displaystyle AOM$ ו-$\displaystyle BOM$ שוות, ולכן הן נשענות על קשתות שוות: $\displaystyle OM$, כשממשיכים אותו עד המעגל, חוצה גם את הקשת $\displaystyle AB$.

המשפט ההפוך: הקטע שמחבר את מרכז המעגל עם אמצע של מיתר מאונך למיתר.
$\displaystyle M$ אמצע המיתר $\displaystyle AB$ במעגל שמרכזו $\displaystyle O$.
הוכיחו: $\displaystyle OM\perp AB$.

המרחק של מיתר ממרכז המעגל הוא האנך $\displaystyle d$ מהמרכז אליו. האנך חוצה את המיתר, ולכן חצי המיתר, $\displaystyle d$ והרדיוס יוצרים משולש ישר זווית:

• מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים מהמרכז, ומיתרים שנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים (תרגיל 5).
• ככל שהמיתר גדול יותר, הוא קרוב יותר למרכז: $\displaystyle {d^{2}}={R^{2}-\left(\frac{AB}{2}\right)^{2}}$ קטן כש-$\displaystyle AB$ גדל. המיתר הארוך ביותר – הקוטר – עובר דרך המרכז, $\displaystyle {d}={0}$.

דוגמה: במעגל שהרדיוס שלו $\displaystyle 13$, אורך של מיתר הוא $\displaystyle 24$. חצי ממנו הוא $\displaystyle 12$, ולכן $\displaystyle {d}={\sqrt{13^{2}-12^{2}}}={\sqrt{25}}={5}$.

חשבו.

במעגל שהרדיוס שלו $\displaystyle 5$ יש שני מיתרים מקבילים שאורכיהם $\displaystyle 6$ ו-$\displaystyle 8$, משני צדי המרכז.
חשבו את המרחק בין המיתרים.

$\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle CD$ מיתרים שווים במעגל שמרכזו $\displaystyle O$.
$\displaystyle OM\perp AB$ ו-$\displaystyle ON\perp CD$.
הוכיחו: $\displaystyle {OM}={ON}$.

משורטט מעגל, אבל המרכז שלו לא מסומן.
תארו איך מוצאים את המרכז בעזרת סרגל ומחוגה, והסבירו למה זה עובד.
(רמז: שרטטו שני מיתרים שאינם מקבילים.)