משוואת המעגל

מעגל הוא כל הנקודות שנמצאות במרחק נתון – הרדיוס $\displaystyle R$ – מנקודה נתונה, המרכז. כשהמרכז הוא ראשית הצירים $\displaystyle O(0,0)$, המרחק מ-$\displaystyle O$ לנקודה $\displaystyle (x,y)$ הוא $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}}$, ולכן הנקודות של המעגל הן אלה שבהן $\displaystyle {\sqrt{x^{2}+y^{2}}}={R}$, או, אחרי העלאה בריבוע:

• זה המעגל הקנוני – המרכז שלו בראשית הצירים. כאן $\displaystyle {R}={5}$: $\displaystyle {3^{2}+4^{2}}={25}$, ולכן $\displaystyle A(3,4)$ על המעגל.
• המעגל אינו גרף של פונקציה: ל-$\displaystyle {x}={3}$ יש עליו שתי נקודות, $\displaystyle A(3,4)$ ו-$\displaystyle B(3,-4)$.

המעגל שמרכזו $\displaystyle M(a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$ – הנקודות שהמרחק שלהן מ-$\displaystyle M$ הוא $\displaystyle R$:

• זה המעגל הקנוני, מוזז $\displaystyle a$ ימינה ו-$\displaystyle b$ למעלה, כמו ש-$\displaystyle {y}={(x-3)^{2}}$ היא הפרבולה $\displaystyle {y}={x^{2}}$ מוזזת $\displaystyle 3$ ימינה.
• בשרטוט: המעגל המקווקו $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={9}$, ואותו מעגל מוזז אל המרכז $\displaystyle (3,2)$.
• קריאת המרכז: ב-$\displaystyle {(x+1)^{2}+(y-4)^{2}}={7}$, $\displaystyle {x+1}={x-(-1)}$, ולכן המרכז הוא $\displaystyle (-1,4)$ והרדיוס $\displaystyle \sqrt{7}$.

כתבו את המרכז ואת הרדיוס של כל מעגל.

1. $\displaystyle {(x-3)^{2}+(y+2)^{2}}={16}$
2. $\displaystyle {x^{2}+(y-1)^{2}}={5}$
3. $\displaystyle {(x+4)^{2}+y^{2}}={\frac{9}{4}}$

כתבו את המשוואה של המעגל שמרכזו $\displaystyle (2,-1)$ ורדיוסו $\displaystyle 3$.

מציבים את הנקודה באגף השמאלי של המשוואה ומשווים ל-$\displaystyle R^{2}$: האגף השמאלי הוא הריבוע של המרחק של הנקודה מהמרכז.

• שווה ל-$\displaystyle R^{2}$ – הנקודה על המעגל;
• קטן ממנו – בתוך המעגל;
• גדול ממנו – מחוץ למעגל.

דוגמה: המעגל $\displaystyle {(x-1)^{2}+(y+2)^{2}}={10}$.

• $\displaystyle (4,-1)$: $\displaystyle {3^{2}+1^{2}}={10}$ – על המעגל;
• $\displaystyle (2,0)$: $\displaystyle {1^{2}+2^{2}}={5<10}$ – בתוכו;
• $\displaystyle (5,1)$: $\displaystyle {4^{2}+3^{2}}={25>10}$ – מחוצה לו.

המעגל: $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}}={25}$.

איפה נמצאת כל אחת מהנקודות: על המעגל, בתוכו או מחוצה לו?

$\displaystyle AB$ קוטר של מעגל: $\displaystyle A(-3,1)$ ו-$\displaystyle B(5,7)$.
כתבו את משוואת המעגל.
(רמז: המרכז הוא אמצע הקוטר.)

ריבוע חסום במעגל קנוני – ארבעת הקודקודים שלו על המעגל.
אחד הקודקודים של הריבוע הוא $\displaystyle (3,4)$.

כתבו את משוואת המעגל.

מצאו את שלושת הקודקודים האחרים של הריבוע.
(רמז: האלכסונים של ריבוע שווים, מאונכים וחוצים זה את זה – לכן הם קטרים.)

המרכז של מעגל נמצא על ציר ה-$\displaystyle x$, והמעגל עובר דרך $\displaystyle A(1,3)$ ו-$\displaystyle B(5,1)$.

כתבו את משוואת המעגל.