דלג לתוכן

משולש ומרובע חסומים במעגל

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 21 מתוך 26לימוד

משולש ומרובע חסומים במעגל

מעגל דרך שלוש נקודות

משפט: דרך שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד, ורק אחד.

  • המרכז של מעגל שעובר דרך A\displaystyle A, B\displaystyle B ו-C\displaystyle C נמצא במרחקים שווים מהן, ולכן הוא על האנך האמצעי של AB\displaystyle AB ועל האנך האמצעי של BC\displaystyle BC.
  • שני אנכים אמצעיים לצלעות של משולש נחתכים בנקודה אחת – מפגש האנכים האמצעיים: יש מרכז כזה, ורק אחד. הרדיוס הוא המרחק שלו מ-A\displaystyle A.
  • לשלוש נקודות על ישר אחד אין מעגל כזה: האנכים האמצעיים של AB\displaystyle AB ושל BC\displaystyle BC מקבילים.

לכן כל משולש חסום במעגל – המעגל החוסם שלו – ומצולע חסום במעגל כשכל הקודקודים שלו על המעגל.

זוויות נגדיות במרובע חסום

משפט: במרובע החסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}.

∠A+∠C\displaystyle \angle A+\angle C =\displaystyle = 180∘\displaystyle 180^{\circ}

נתון: המרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל.
צריך להוכיח: ∠BAD+∠BCD=180∘\displaystyle {\angle BAD+\angle BCD}={180^{\circ}}.

בהוכחה שלפניכם נעביר את האלכסונים. הזווית A\displaystyle A מתחלקת לשתי זוויות היקפיות, וכל אחת מהן שווה לזווית של המשולש BCD\displaystyle BCD:

טענהנימוק
1∠BAC=∠BDC\displaystyle {\angle BAC}={\angle BDC}זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת BC\displaystyle BC
2∠CAD=∠CBD\displaystyle {\angle CAD}={\angle CBD}זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת CD\displaystyle CD
3∠BAD=∠BDC+∠CBD\displaystyle {\angle BAD}={\angle BDC+\angle CBD}(1), (2); ∠BAD=∠BAC+∠CAD\displaystyle {\angle BAD}={\angle BAC+\angle CAD}
4∠BCD+∠BDC+∠CBD=180∘\displaystyle {\angle BCD+\angle BDC+\angle CBD}={180^{\circ}}סכום הזוויות במשולש BCD\displaystyle BCD
5∠BAD+∠BCD=180∘\displaystyle {\angle BAD+\angle BCD}={180^{\circ}}(3), (4)

גם סכום הזוויות B\displaystyle B ו-D\displaystyle D הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}: סכום ארבע הזוויות של מרובע הוא 360∘\displaystyle 360^{\circ}.

המשפט ההפוך

משפט: מרובע שבו סכום שתי זוויות נגדיות הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ} אפשר לחסום במעגל.

  • ההוכחה בדרך השלילה: נעביר את המעגל דרך A\displaystyle A, B\displaystyle B ו-D\displaystyle D, ונניח ש-C\displaystyle C לא עליו. הישר DC\displaystyle DC חותך את המעגל בנקודה נוספת C′\displaystyle C'; המרובע ABC′D\displaystyle ABC'D חסום, ולכן ∠BC′D=180∘−∠A=∠BCD\displaystyle {\angle BC'D}={180^{\circ}-\angle A}={\angle BCD}. אז במשולש BCC′\displaystyle BCC' זווית חיצונית שווה לזווית פנימית שאינה צמודה לה – וזה לא ייתכן.
  • לכן אפשר לחסום במעגל כל מלבן (כל זוג זוויות נגדיות הוא 90∘+90∘\displaystyle 90^{\circ}+90^{\circ}) וכל טרפז שווה שוקיים (הזוויות שליד בסיס אחד שוות, וסכום הזוויות שליד שוק הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}).
  • מקבילית שאינה מלבן אי אפשר לחסום במעגל: הזוויות הנגדיות שלה שוות, ואינן 90∘\displaystyle 90^{\circ} כל אחת.
תרגיל 1

המרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל.

א
∠A=104∘\displaystyle {\angle A}={104^{\circ}}. חשבו את ∠C\displaystyle \angle C.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    ∠B=(2x+10)∘\displaystyle {\angle B}={(2x+10)^{\circ}} ו-∠D=(3x−5)∘\displaystyle {\angle D}={(3x-5)^{\circ}}. מצאו את x\displaystyle x.
      תרגיל 2

      זווית חיצונית של מרובע החסום במעגל שווה לזווית הפנימית שמולה.
      ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל, ו-E\displaystyle E על ההמשך של AB\displaystyle AB מעבר ל-B\displaystyle B.
      הוכיחו: ∠CBE=∠ADC\displaystyle {\angle CBE}={\angle ADC}.

      תרגיל 3

      הטרפז ABCD\displaystyle ABCD (AB∥DC\displaystyle AB\parallel DC) חסום במעגל.
      הוכיחו: AD=BC\displaystyle {AD}={BC} – הטרפז שווה שוקיים.
      (רמז: העבירו את האלכסון AC\displaystyle AC, והסתכלו על הקשתות AD\displaystyle AD ו-BC\displaystyle BC.)

      תרגיל 4

      המרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל, והאלכסון שלו AC\displaystyle AC הוא קוטר.
      ∠BAC=25∘\displaystyle {\angle BAC}={25^{\circ}} ו-∠CAD=40∘\displaystyle {\angle CAD}={40^{\circ}}.

      א
      חשבו את ∠BCD\displaystyle \angle BCD.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב
        חשבו את ∠ACB\displaystyle \angle ACB.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג
          חשבו את ∠BDC\displaystyle \angle BDC.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 5

            בדלתון יש שתי זוויות נגדיות שוות, בין הצלעות שאינן שוות.
            מתי אפשר לחסום דלתון במעגל?
            הסבירו.