מרחק בין נקודות ואמצע קטע

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 26לימוד

מרחק בין נקודות ואמצע קטע

גאומטריה אנליטית

גאומטריה אנליטית חוקרת צורות בעזרת מספרים: נקודה היא זוג מספרים $\displaystyle (x,y)$ , וישר או מעגל הם משוואה שהשיעורים של הנקודות שלהם מקיימים.

רנה דקארט ופייר דה פרמה חיברו כך, במאה ה-17, בין האלגברה לגאומטריה – על שם דקארט נקראת מערכת הצירים “קרטזית”.
שאלה על צורה הופכת למשוואה: נקודת החיתוך של שני ישרים היא הפתרון של מערכת משוואות.
משוואה הופכת לתמונה: $\displaystyle {y}={x^{2}}$ היא פרבולה שאפשר לראות.

המרחק בין שתי נקודות

המרחק בין שתי נקודות הוא היתר של משולש ישר זווית שהניצבים שלו מקבילים לצירים, ולכן משפט פיתגורס נותן אותו.

הניצב $\displaystyle AC$ מקביל לציר ה- $\displaystyle x$ : האורך שלו הוא ההפרש בין שיעורי ה- $\displaystyle x$ , $\displaystyle {7-1}={6}$ .
הניצב $\displaystyle BC$ מקביל לציר ה- $\displaystyle y$ : האורך שלו הוא ההפרש בין שיעורי ה- $\displaystyle y$ , $\displaystyle {5-1}={4}$ .
לפי משפט פיתגורס: $\displaystyle {AB}={\sqrt{6^{2}+4^{2}}}={\sqrt{52}}={2\sqrt{13}}$ .

לכל שתי נקודות $\displaystyle A(x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle B(x_2,y_2)$ :

\displaystyle d

\displaystyle =

\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}

הסדר של הנקודות לא משנה: כל הפרש מועלה בריבוע.
מרחק שממשיכים לעבוד איתו נשאר שורש בצורה הפשוטה ביותר: $\displaystyle 2\sqrt{13}$ , ולא $\displaystyle 7.21$ .

תרגיל 1

חשבו את המרחקים.

\displaystyle A(-2,3)

ו-

\displaystyle B(4,-5)

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle C(1,-1)

ו-

\displaystyle D(4,5)

– כתבו את המרחק בעצמכם, בצורה הפשוטה ביותר.

אמצע קטע

כל שיעור של אמצע הקטע הוא הממוצע של השיעורים של הקצוות:

\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

למה: $\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle AK$ , $\displaystyle ML$ מקבילים לציר ה- $\displaystyle x$ .

המשולשים $\displaystyle AKM$ ו- $\displaystyle MLB$ חופפים (ז.צ.ז): $\displaystyle {AM}={MB}$ ; הזוויות שליד $\displaystyle A$ ושליד $\displaystyle M$ מתאימות בין ישרים מקבילים; הזוויות שליד $\displaystyle K$ ושליד $\displaystyle L$ ישרות.
לכן $\displaystyle {AK}={ML}$ : הצעד ב- $\displaystyle x$ מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle M$ שווה לצעד מ- $\displaystyle M$ ל- $\displaystyle B$ , $\displaystyle {x_M-x_1}={x_2-x_M}$ , ו- $\displaystyle {x_M}={\frac{x_1+x_2}{2}}$ .
באותו אופן, $\displaystyle {KM}={LB}$ נותן $\displaystyle {y_M}={\frac{y_1+y_2}{2}}$ .

דוגמה: $\displaystyle A(1,1)$ ו- $\displaystyle B(7,5)$ : $\displaystyle {M\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+5}{2}\right)}={(4,3)}$ .

תרגיל 2

מצאו את אמצע הקטע $\displaystyle PQ$ : $\displaystyle P(-3,8)$ ו- $\displaystyle Q(5,2)$ .

\displaystyle x_M

\displaystyle y_M

תרגיל 3

$\displaystyle M(2,-1)$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle A(-4,3)$ .
מצאו את השיעורים של $\displaystyle B$ .

\displaystyle x_B

\displaystyle y_B

נקודה במרחקים שווים משתי נקודות

נקודה שנמצאת במרחקים שווים מ- $\displaystyle A$ ומ- $\displaystyle B$ נותנת משוואה: שני המרחקים שווים, וגם הריבועים שלהם.

דוגמה: הנקודה $\displaystyle P$ על ציר ה- $\displaystyle y$ שנמצאת במרחקים שווים מ- $\displaystyle A(2,1)$ ומ- $\displaystyle B(6,5)$ .

$\displaystyle P$ על ציר ה- $\displaystyle y$ , ולכן $\displaystyle P(0,y)$ .
$\displaystyle {PA^{2}}={PB^{2}}$ : $\displaystyle {(0-2)^{2}+(y-1)^{2}}={(0-6)^{2}+(y-5)^{2}}$ .
$\displaystyle {4+y^{2}-2y+1}={36+y^{2}-10y+25}$ , ולכן $\displaystyle {8y}={56}$ ו- $\displaystyle {y}={7}$ .
$\displaystyle P(0,7)$ . בדיקה: $\displaystyle {PA^{2}}={4+36}={40}$ ו- $\displaystyle {PB^{2}}={36+4}={40}$ .

ה- $\displaystyle y^{2}$ מצטמצם: משוואה כזאת היא תמיד ממעלה ראשונה.

תרגיל 4

הנקודה $\displaystyle P$ על ציר ה- $\displaystyle x$ , במרחקים שווים מ- $\displaystyle A(1,3)$ ומ- $\displaystyle B(5,1)$ .
מצאו את $\displaystyle P$ .

תרגיל 5

הקודקודים של המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(-1,1)$ , $\displaystyle B(7,1)$ ו- $\displaystyle C(3,4)$ .

חשבו את האורכים של הצלעות $\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle BC$ .

\displaystyle AC

\displaystyle BC

$\displaystyle D$ אמצע $\displaystyle AB$ .
חשבו את האורך של התיכון $\displaystyle CD$ .

איזה משולש הוא $\displaystyle ABC$ ?
הסבירו למה התיכון $\displaystyle CD$ הוא גם הגובה לצלע $\displaystyle AB$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$