דלג לתוכן

משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 11 מתוך 26לימוד

משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך

משפט החפיפה הרביעי

משפט: אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והזוויות שמול הגדולה מבין שתי הצלעות שוות, אז המשולשים חופפים.

נתון: AB=DE\displaystyle {AB}={DE}, AC=DF\displaystyle {AC}={DF}, ∠C=∠F\displaystyle {\angle C}={\angle F}, ו-AB>AC\displaystyle AB>AC – הזוויות C\displaystyle C ו-F\displaystyle F מול הצלעות הגדולות.
צריך להוכיח: △ABC≅△DEF\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle DEF.

ההוכחה שלפניכם היא הוכחה בדרך השלילה: נניח ש-BC≠EF\displaystyle BC\neq EF, ונראה שההנחה מובילה לטענה שקרית.

  • נניח ש-EF<BC\displaystyle EF<BC. ניקח על CB\displaystyle CB נקודה G\displaystyle G כך ש-CG=FE\displaystyle {CG}={FE}.
  • △AGC≅△DEF\displaystyle \triangle AGC\cong\triangle DEF (צ.ז.צ: AC=DF\displaystyle {AC}={DF}, ∠C=∠F\displaystyle {\angle C}={\angle F}, CG=FE\displaystyle {CG}={FE}), ולכן AG=DE=AB\displaystyle {AG}={DE}={AB}.
  • לכן המשולש ABG\displaystyle ABG שווה שוקיים, וזוויות הבסיס שלו ∠ABG\displaystyle \angle ABG ו-∠AGB\displaystyle \angle AGB שוות – שתיהן חדות, כי שתיהן נמצאות במשולש אחד.
  • לכן ∠AGC=180∘−∠AGB\displaystyle {\angle AGC}={180^{\circ}-\angle AGB} קהה. זו הזווית הגדולה במשולש AGC\displaystyle AGC, והצלע שמולה הגדולה: AC>AG=AB\displaystyle {AC>AG}={AB}.
  • זה סותר את AB>AC\displaystyle AB>AC. באותו אופן גם EF>BC\displaystyle EF>BC מוביל לסתירה, כשהתפקידים של המשולשים מתחלפים.

לכן BC=EF\displaystyle {BC}={EF}, והמשולשים חופפים לפי צ.צ.צ.

הזווית שמול הצלע הקטנה

כשהזוויות השוות נמצאות מול הקטנה מבין שתי הצלעות, המשולשים אינם בהכרח חופפים.

דוגמה: ABC\displaystyle ABC משולש שווה שוקיים, AB=AC\displaystyle {AB}={AC}, ו-D\displaystyle D נקודה על הבסיס BC\displaystyle BC שאינה האמצע שלו.

  • המשולשים ABD\displaystyle ABD ו-ACD\displaystyle ACD: AB=AC\displaystyle {AB}={AC}, AD\displaystyle AD משותפת, ו-∠B=∠C\displaystyle {\angle B}={\angle C}.
  • הזוויות השוות B\displaystyle B ו-C\displaystyle C נמצאות מול AD\displaystyle AD – הצלע הקטנה, כי AD<AB\displaystyle AD<AB.
  • המשולשים אינם חופפים: BD≠DC\displaystyle BD\neq DC.

מה זה כן נותן: שתי צלעות והזווית שמול הקטנה מביניהן – או שהמשולשים חופפים, או שסכום הזוויות שמול הצלעות הגדולות הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}. בדוגמה, ∠ADB+∠ADC=180∘\displaystyle {\angle ADB+\angle ADC}={180^{\circ}}.

תרגיל 1

במרובע ABCD\displaystyle ABCD, AB=CD\displaystyle {AB}={CD} ו-∠B=∠D\displaystyle {\angle B}={\angle D}.
האלכסון AC\displaystyle AC ארוך מ-AB\displaystyle AB.
הוכיחו: BC=AD\displaystyle {BC}={AD}.

תרגיל 2

שתי צלעות של משולש הן 8\displaystyle 8 ו-5\displaystyle 5, והזווית שמול הצלע 5\displaystyle 5 היא 30∘\displaystyle 30^{\circ}.

  1. האם הזווית נמצאת מול הצלע הגדולה או מול הקטנה?
  2. שרטטו: קרן מ-B\displaystyle B בזווית של 30∘\displaystyle 30^{\circ} ל-BC=8\displaystyle {BC}={8}, ומעגל שמרכזו C\displaystyle C ורדיוסו 5\displaystyle 5. כמה משולשים מתאימים לנתונים?
  3. מה אפשר לומר על הזוויות שמול הצלע 8\displaystyle 8 במשולשים שמצאתם?
המשפט ההפוך למשפט פיתגורס

משפט: משולש שבו סכום הריבועים של שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית – והזווית הישרה מול הצלע השלישית.

a2+b2\displaystyle a^{2}+b^{2} =\displaystyle = c2\displaystyle c^{2}

נתון: במשולש ABC\displaystyle ABC, BC=a\displaystyle {BC}={a}, AC=b\displaystyle {AC}={b}, AB=c\displaystyle {AB}={c} ו-a2+b2=c2\displaystyle {a^{2}+b^{2}}={c^{2}}.
צריך להוכיח: ∠C=90∘\displaystyle {\angle C}={90^{\circ}}.

בהוכחה שלפניכם נבנה משולש ישר זווית עם אותם ניצבים ונשווה:

  • נבנה משולש DEF\displaystyle DEF שבו ∠F=90∘\displaystyle {\angle F}={90^{\circ}}, EF=a\displaystyle {EF}={a} ו-DF=b\displaystyle {DF}={b}.
  • לפי משפט פיתגורס, DE2=a2+b2=c2\displaystyle {DE^{2}}={a^{2}+b^{2}}={c^{2}}, ולכן DE=c\displaystyle {DE}={c}.
  • לכן △ABC≅△DEF\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle DEF (צ.צ.צ), ו-∠C=∠F=90∘\displaystyle {\angle C}={\angle F}={90^{\circ}}.
תרגיל 3

אורכי הצלעות של משולש הם 7\displaystyle 7, 24\displaystyle 24 ו-25\displaystyle 25.

א
חשבו את סכום הריבועים של שתי הצלעות הקצרות.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    האם המשולש ישר זווית? איזו זווית ישרה?
    ומשולש שאורכי צלעותיו 6\displaystyle 6, 8\displaystyle 8 ו-11\displaystyle 11?

    תרגיל 4

    הקודקודים של המשולש ABC\displaystyle ABC הם A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(5,3)\displaystyle B(5,3) ו-C(3,7)\displaystyle C(3,7).

    א

    חשבו את הריבועים של שלוש הצלעות.

    AB2\displaystyle AB^{2}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      BC2\displaystyle BC^{2}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        AC2\displaystyle AC^{2}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          איזה משולש הוא ABC\displaystyle ABC? הסבירו לפי המשפטים של השיעור.