דלג לתוכן

הזווית ההיקפית

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 20 מתוך 26לימוד

הזווית ההיקפית

הזווית ההיקפית

זווית היקפית היא זווית שהקודקוד שלה על המעגל והשוקיים שלה חותכות את המעגל.

  • ∠ACB\displaystyle \angle ACB היא זווית היקפית: הקודקוד שלה C\displaystyle C על המעגל, והשוקיים שלה הן המיתרים CA\displaystyle CA ו-CB\displaystyle CB.
  • היא נשענת על הקשת AB\displaystyle AB שבתוכה – הקשת שאין עליה את C\displaystyle C.
  • הזווית המרכזית ∠AOB\displaystyle \angle AOB נשענת על אותה קשת.
זווית היקפית וזווית מרכזית
כאן המרכז O\displaystyle O בתוך הזווית ACB\displaystyle ACB. כשהוא על אחת השוקיים של הזווית, או מחוץ לה, ההוכחה משתמשת באותו קוטר CD\displaystyle CD, ובצעד האחרון מחסירים זווית מזווית במקום לחבר אותן.

משפט: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת.

נתון: O\displaystyle O מרכז המעגל; A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C על המעגל.
צריך להוכיח: ∠AOB=2∠ACB\displaystyle {\angle AOB}={2\angle ACB}.

בהוכחה שלפניכם נעביר את הקוטר CD\displaystyle CD. בכל צד שלו, משולש שווה שוקיים ששתי צלעות שלו רדיוסים, והזווית החיצונית שלו ב-O\displaystyle O, יראו שהזווית המרכזית גדולה פי 2 מהזווית ההיקפית:

טענהנימוק
1OA=OC\displaystyle {OA}={OC}רדיוסים במעגל
2∠OAC=∠OCA\displaystyle {\angle OAC}={\angle OCA}(1); במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
3∠AOD=∠OAC+∠OCA\displaystyle {\angle AOD}={\angle OAC+\angle OCA}זווית חיצונית למשולש AOC\displaystyle AOC שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
4∠AOD=2∠ACO\displaystyle {\angle AOD}={2\angle ACO}(2), (3)
5∠BOD=2∠BCO\displaystyle {\angle BOD}={2\angle BCO}באותו אופן, במשולש שווה השוקיים BOC\displaystyle BOC
6∠AOB=2∠ACB\displaystyle {\angle AOB}={2\angle ACB}(4), (5); מחברים – ∠AOB=∠AOD+∠BOD\displaystyle {\angle AOB}={\angle AOD+\angle BOD} ו-∠ACB=∠ACO+∠BCO\displaystyle {\angle ACB}={\angle ACO+\angle BCO}

קשת נמדדת לפי הזווית המרכזית שנשענת עליה, ולכן: זווית היקפית שווה למחצית הקשת שהיא נשענת עליה.

∠ACB\displaystyle \angle ACB =\displaystyle = 12∠AOB\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB
זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת

כל זווית היקפית שווה למחצית הקשת שלה, ולכן:

  • זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת שוות – כל אחת מהן היא מחצית של אותה זווית מרכזית;
  • במעגל, לזוויות היקפיות שוות יש קשתות שוות ומיתרים שווים;
  • במעגל, על קשתות שוות – ועל מיתרים שווים – נשענות זוויות היקפיות שוות, מאותו צד.
תרגיל 1

O\displaystyle O מרכז המעגל, ו-∠AOB=130∘\displaystyle {\angle AOB}={130^{\circ}}.
C\displaystyle C ו-D\displaystyle D על המעגל, באותו צד של AB\displaystyle AB.

א
חשבו את ∠ACB\displaystyle \angle ACB.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    ∠CAD=20∘\displaystyle {\angle CAD}={20^{\circ}}. חשבו את הזווית המרכזית ∠COD\displaystyle \angle COD.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      זווית היקפית היא (x+20)∘\displaystyle (x+20)^{\circ}, והזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת היא (3x)∘\displaystyle (3x)^{\circ}.
      מצאו את x\displaystyle x.

        זווית היקפית שנשענת על קוטר

        משפט: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא זווית ישרה.

        • הזווית המרכזית שנשענת על קוטר היא זווית שטוחה, 180∘\displaystyle 180^{\circ}, והזווית ההיקפית היא מחציתה.
        ∠ACB\displaystyle \angle ACB =\displaystyle = 90∘\displaystyle 90^{\circ}

        המשפט ההפוך: זווית היקפית של 90∘\displaystyle 90^{\circ} נשענת על קוטר.

        • במשולש ישר הזווית ACB\displaystyle ACB, התיכון CM\displaystyle CM ליתר שווה למחצית היתר: MA=MB=MC\displaystyle {MA}={MB}={MC}.
        • לכן M\displaystyle M נמצאת במרחקים שווים מ-A\displaystyle A, מ-B\displaystyle B ומ-C\displaystyle C: היא מרכז המעגל שעובר דרכן, ו-AB\displaystyle AB, שעובר דרך M\displaystyle M, הוא קוטר.

        שימוש: המעגל שהיתר של משולש ישר זווית הוא קוטר שלו עובר דרך הקודקוד של הזווית הישרה.

        תרגיל 3

        AB\displaystyle AB קוטר של המעגל, ו-C\displaystyle C על המעגל.
        ∠CAB=35∘\displaystyle {\angle CAB}={35^{\circ}}.

        א
        חשבו את ∠ABC\displaystyle \angle ABC.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          AB=10\displaystyle {AB}={10} ו-AC=8\displaystyle {AC}={8}. חשבו את BC\displaystyle BC.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4

            AB\displaystyle AB קוטר של המעגל שמרכזו O\displaystyle O, ו-C\displaystyle C על המעגל.
            CD⊥AB\displaystyle CD\perp AB, ו-D\displaystyle D על AB\displaystyle AB.
            הוכיחו: ∠ACD=∠ABC\displaystyle {\angle ACD}={\angle ABC}.

            תרגיל 5

            A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C, D\displaystyle D על מעגל.
            המיתרים AC\displaystyle AC ו-BD\displaystyle BD נחתכים בנקודה E\displaystyle E.
            הוכיחו: △AED∼△BEC\displaystyle \triangle AED\sim\triangle BEC.