משולש ומרובע חוסמים מעגל

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 23 מתוך 26לימוד

משולש ומרובע חוסמים מעגל

המעגל החסום במשולש

מצולע חוסם מעגל כשכל אחת מהצלעות שלו משיקה למעגל; המעגל חסום בו.

כל משולש חוסם מעגל: חוצי הזוויות נפגשים בנקודה $\displaystyle I$ שנמצאת במרחקים שווים משלוש הצלעות (השיעור המעגל החוסם, המעגל החסום ומפגש הגבהים).
המעגל שמרכזו $\displaystyle I$ ועובר דרך עקבי האנכים $\displaystyle D$ , $\displaystyle E$ , $\displaystyle F$ מ- $\displaystyle I$ לצלעות: כל צלע מאונכת לרדיוס $\displaystyle ID$ , $\displaystyle IE$ או $\displaystyle IF$ בקצה שלו – ולכן היא משיק.
מכל קודקוד יוצאים שני משיקים, והם שווים: $\displaystyle {AF}={AE}$ , $\displaystyle {BF}={BD}$ , $\displaystyle {CD}={CE}$ .

תרגיל 1

במשולש שבשרטוט $\displaystyle {AB}={7}$ , $\displaystyle {BC}={8}$ ו- $\displaystyle {AC}={9}$ .
המעגל החסום משיק ל- $\displaystyle AB$ ב- $\displaystyle F$ , ל- $\displaystyle BC$ ב- $\displaystyle D$ ול- $\displaystyle AC$ ב- $\displaystyle E$ .

\displaystyle {AF}={AE}={x}

, ולכן

\displaystyle {BF}={BD}={7-x}

ו-

\displaystyle {CE}={CD}={9-x}

. מצאו את

\displaystyle x

לפי

\displaystyle {BC}={8}

מצאו את $\displaystyle BD$ ואת $\displaystyle CD$ .
הראו ש- $\displaystyle AF$ שווה למחצית ההיקף פחות $\displaystyle BC$ .

\displaystyle BD

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle CD

תרגיל 2

מעגל שמרכזו $\displaystyle I$ ורדיוסו $\displaystyle r$ חסום במשולש ישר הזווית $\displaystyle ABC$ ( $\displaystyle {\angle C}={90^{\circ}}$ ).
הוא משיק ל- $\displaystyle BC$ ב- $\displaystyle D$ ול- $\displaystyle AC$ ב- $\displaystyle E$ .

הסבירו למה $\displaystyle IDCE$ ריבוע, ולכן $\displaystyle {CD}={CE}={r}$ .

הניצבים הם $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ , והיתר $\displaystyle c$ .
היעזרו במשיקים מ- $\displaystyle A$ ומ- $\displaystyle B$ והראו ש- $\displaystyle {r}={\frac{a+b-c}{2}}$ .

הניצבים הם

\displaystyle 6

ו-

\displaystyle 8

. חשבו את

\displaystyle r

מרובע החוסם מעגל

משפט: במרובע החוסם מעגל, סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות האחרות.

\displaystyle AB+CD

\displaystyle =

\displaystyle BC+AD

נתון: המעגל שמרכזו $\displaystyle I$ משיק לצלעות של $\displaystyle ABCD$ בנקודות $\displaystyle P$ , $\displaystyle Q$ , $\displaystyle R$ , $\displaystyle S$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB+CD}={BC+AD}$ .

בהוכחה שלפניכם נחלק כל צלע לשני קטעי משיקים, ונתאים זה לזה את הקטעים השווים:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AP}={AS}$	שני משיקים למעגל מהנקודה $\displaystyle A$
2	$\displaystyle {BP}={BQ}$	שני משיקים מ- $\displaystyle B$
3	$\displaystyle {CQ}={CR}$	שני משיקים מ- $\displaystyle C$
4	$\displaystyle {DR}={DS}$	שני משיקים מ- $\displaystyle D$
5	$\displaystyle {AB+CD}={AP+BP+CR+DR}$	$\displaystyle P$ על $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle R$ על $\displaystyle CD$
6	$\displaystyle {BC+AD}={BQ+CQ+AS+DS}$	$\displaystyle Q$ על $\displaystyle BC$ , ו- $\displaystyle S$ על $\displaystyle AD$
7	$\displaystyle {AB+CD}={BC+AD}$	(1)–(6)

המשפט ההפוך: מרובע קמור שבו סכומי הצלעות הנגדיות שווים חוסם מעגל. ההוכחה שלו בדרך השלילה, כמו ההוכחה של המשפט ההפוך במרובע החסום במעגל.

כל מעוין וכל דלתון חוסמים מעגל: $\displaystyle {a+a}={a+a}$ , ו- $\displaystyle {a+b}={b+a}$ .
מלבן שאינו ריבוע אינו חוסם מעגל: $\displaystyle a+a\neq b+b$ .

תרגיל 3

המרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל.
$\displaystyle {AB}={2x}$ , $\displaystyle {BC}={9}$ , $\displaystyle {CD}={x+3}$ , $\displaystyle {DA}={12}$ .

מצאו את

\displaystyle x

חשבו את ההיקף של

\displaystyle ABCD

תרגיל 4

טרפז שווה שוקיים חוסם מעגל.
הבסיסים שלו הם $\displaystyle 4$ ו- $\displaystyle 16$ .

חשבו את האורך של שוק.

חשבו את הגובה של הטרפז. (רמז: האנך מקצה הבסיס הקצר מקצה מהבסיס הארוך

\displaystyle \frac{16-4}{2}

חשבו את רדיוס המעגל. (רמז: הבסיסים הם משיקים מקבילים.)

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$