שיפוע ומשוואת הישר

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 26לימוד

שיפוע ומשוואת הישר

השיפוע של ישר

השיפוע של ישר הוא השינוי ב- $\displaystyle y$ על כל צעד של $\displaystyle 1$ ב- $\displaystyle x$ . בין כל שתי נקודות של הישר הוא השינוי ב- $\displaystyle y$ חלקי השינוי ב- $\displaystyle x$ :

\displaystyle m

\displaystyle =

\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

\displaystyle x_1\neq x_2

\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1

\displaystyle A=(0,1)

\displaystyle B=(6,5)

מ- $\displaystyle A(0,1)$ ל- $\displaystyle B(6,5)$ : $\displaystyle 6$ ימינה ו- $\displaystyle 4$ למעלה, ולכן $\displaystyle {m}={\frac{4}{6}}={\frac{2}{3}}$ .
כל שתי נקודות של ישר נותנות אותו שיפוע: המשולשים של הצעדים דומים.
$\displaystyle m>0$ – הישר עולה משמאל לימין; $\displaystyle m<0$ – הוא יורד; $\displaystyle {m}={0}$ – הוא מקביל לציר ה- $\displaystyle x$ .

תרגיל 1

חשבו את השיפוע של הישר שעובר דרך $\displaystyle A(-1,4)$ ו- $\displaystyle B(3,-4)$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

ישר לפי שיפוע ונקודה

נקודה $\displaystyle (x,y)$ נמצאת על הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$ בדיוק כשהשיפוע בין שתי הנקודות הוא $\displaystyle m$ : $\displaystyle {\frac{y-y_1}{x-x_1}}={m}$ . אחרי הכפלה, זו משוואת הישר:

\displaystyle y-y_1

\displaystyle =

\displaystyle m(x-x_1)

דוגמה: הישר ששיפועו $\displaystyle -2$ ועובר דרך $\displaystyle (3,1)$ .

$\displaystyle {y-1}={-2(x-3)}$ ;
$\displaystyle {y-1}={-2x+6}$ ;
$\displaystyle {y}={-2x+7}$ .

ישר שעובר דרך שתי נקודות: קודם השיפוע ביניהן, ואחר כך המשוואה לפי השיפוע ואחת הנקודות.

תרגיל 2

כתבו את המשוואה של הישר ששיפועו $\displaystyle 3$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle P(2,-1)$ .

\displaystyle P=(2,-1)

תרגיל 3

כתבו את המשוואה של הישר שעובר דרך $\displaystyle A(1,5)$ ו- $\displaystyle B(4,-1)$ .

\displaystyle A=(1,5)

\displaystyle B=(4,-1)

משוואה מפורשת ומשוואה כללית

אפשר לכתוב את אותו ישר בשתי צורות:

מפורשת – $\displaystyle {y}={mx+b}$ : רואים מיד את השיפוע $\displaystyle m$ ואת הנקודה $\displaystyle (0,b)$ על ציר ה- $\displaystyle y$ , ולכל $\displaystyle x$ המשוואה נותנת את $\displaystyle y$ ;
כללית – $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$ : יש כזאת לכל ישר, גם לישר המקביל לציר ה- $\displaystyle y$ ; כדי לראות את השיפוע, מבודדים את $\displaystyle y$ .

דוגמה: $\displaystyle {2x+3y-6}={0}$ .

$\displaystyle {3y}={-2x+6}$ , ולכן $\displaystyle {y}={-\frac{2}{3}x+2}$ ;
השיפוע הוא $\displaystyle -\frac{2}{3}$ , והישר חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,2)$ .

המשוואה הכללית אינה יחידה: $\displaystyle {4x+6y-12}={0}$ הוא אותו ישר – המשוואה כפול $\displaystyle 2$ .

ישר המקביל לציר ה-y

לכל הנקודות של ישר המקביל לציר ה- $\displaystyle y$ יש אותו $\displaystyle x$ , ולכן המשוואה שלו היא $\displaystyle {x}={k}$ .

\displaystyle x=3

\displaystyle y=2

ל- $\displaystyle {x}={3}$ אין שיפוע: בין שתי נקודות שלו השינוי ב- $\displaystyle x$ הוא $\displaystyle 0$ , ואי אפשר לחלק ב- $\displaystyle 0$ .
הוא אינו גרף של פונקציה: פונקציה נותנת $\displaystyle y$ אחד לכל $\displaystyle x$ , וכאן ל- $\displaystyle {x}={3}$ יש כל $\displaystyle y$ .
בצורה הכללית הוא $\displaystyle {x-3}={0}$ : $\displaystyle {B}={0}$ .
הישר המקווקו $\displaystyle {y}={2}$ מקביל לציר ה- $\displaystyle x$ : השיפוע שלו $\displaystyle 0$ , והוא גרף של פונקציה – אותו $\displaystyle y$ לכל $\displaystyle x$ .

תרגיל 4

המשוואה הכללית של ישר היא $\displaystyle {5x-2y+4}={0}$ .
כתבו את המשוואה המפורשת שלו.

תרגיל 5

כתבו את המשוואה של כל ישר.
אילו מהישרים הם גרפים של פונקציות?

הישר שעובר דרך $\displaystyle (3,1)$ ו- $\displaystyle (3,5)$ .
הישר שעובר דרך $\displaystyle (-2,4)$ ו- $\displaystyle (6,4)$ .
הישר שעובר דרך ראשית הצירים ו- $\displaystyle (2,-6)$ .

ישר עם פרמטר

משוואה שיש בה אות נוספת על $\displaystyle x$ ו- $\displaystyle y$ – פרמטר – היא משפחה שלמה של ישרים, ישר לכל ערך של הפרמטר. תנאי על הישר הוא משוואה בפרמטר.

דוגמה: $\displaystyle {(k-1)x+2y}={k}$ . בעבור איזה $\displaystyle k$ הישר עובר דרך $\displaystyle (3,1)$ ?

נציב את הנקודה: $\displaystyle {3(k-1)+2\cdot1}={k}$ ;
$\displaystyle {3k-1}={k}$ , ולכן $\displaystyle {k}={\frac{1}{2}}$ ;
הישר: $\displaystyle {-\frac{1}{2}x+2y}={\frac{1}{2}}$ , או $\displaystyle {y}={\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}}$ .

תרגיל 6

הישר: $\displaystyle {kx+(k+2)y}={12}$ .

בעבור איזה

\displaystyle k

הישר עובר דרך הנקודה

\displaystyle (1,2)

בעבור איזה $\displaystyle k$ הישר מקביל לציר ה- $\displaystyle y$ ?
בעבור איזה $\displaystyle k$ הוא מקביל לציר ה- $\displaystyle x$ ?
כתבו את משוואת הישר בכל מקרה.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$