חיתוך ישר עם פרבולה ועם מעגל

נקודות החיתוך של ישר ופרבולה הן הפתרונות של מערכת המשוואות שלהם. כשמציבים את ה-$\displaystyle y$ של הישר במשוואת הפרבולה, נשארת משוואה ריבועית ב-$\displaystyle x$.

דוגמה: הפרבולה $\displaystyle {y}={x^{2}}$ והישר $\displaystyle {y}={x+2}$.

• $\displaystyle {x^{2}}={x+2}$, ולכן $\displaystyle {x^{2}-x-2}={0}$ ו-$\displaystyle {(x-2)(x+1)}={0}$;
• $\displaystyle {x}={2}$: $\displaystyle {y}={4}$; $\displaystyle {x}={-1}$: $\displaystyle {y}={1}$;
• נקודות החיתוך: $\displaystyle (2,4)$ ו-$\displaystyle (-1,1)$.

הפרבולה: $\displaystyle {y}={x^{2}-2x-3}$; הישר: $\displaystyle {y}={x+1}$.

מצאו את נקודות החיתוך בפתרון המערכת.

סמנו את נקודות החיתוך על הלוח.

מספר נקודות החיתוך הוא מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית, והדיסקרימיננטה שלה $\displaystyle {\Delta}={b^{2}-4ac}$ קובעת אותו:

• $\displaystyle \Delta>0$ – שתי נקודות חיתוך: הישר חותך את הפרבולה;
• $\displaystyle {\Delta}={0}$ – נקודת חיתוך אחת: ישר שאינו מקביל לציר הסימטריה של הפרבולה הוא אז משיק – הוא נוגע בפרבולה;
• $\displaystyle \Delta<0$ – אין נקודת חיתוך.

דוגמה: הישר $\displaystyle {y}={2x+k}$ והפרבולה $\displaystyle {y}={x^{2}}$.

• $\displaystyle {x^{2}}={2x+k}$, ולכן $\displaystyle {x^{2}-2x-k}={0}$;
• $\displaystyle {\Delta}={(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-k)}={4+4k}$;
• $\displaystyle {4+4k}={0}$ כש-$\displaystyle {k}={-1}$: הישר $\displaystyle {y}={2x-1}$ משיק לפרבולה, ב-$\displaystyle {x}={1}$, בנקודה $\displaystyle (1,1)$.

הפרבולה: $\displaystyle {y}={x^{2}+3}$; הישר: $\displaystyle {y}={kx-1}$.

בעבור אילו ערכים של $\displaystyle k$ הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות?
בעבור אילו ערכים הוא לא פוגש את הפרבולה כלל?

ישר ומעגל נחתכים בשתי נקודות, בנקודה אחת – הישר הוא אז משיק למעגל – או באף נקודה. גם נקודות החיתוך שלהם הן הפתרונות של מערכת.

דוגמה: המעגל $\displaystyle {(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}={25}$ והישר $\displaystyle {y}={x-1}$.

• $\displaystyle {(x-1)^{2}+(x-1+1)^{2}}={25}$, ולכן $\displaystyle {x^{2}-2x+1+x^{2}}={25}$;
• $\displaystyle {2x^{2}-2x-24}={0}$, או $\displaystyle {x^{2}-x-12}={0}$, ו-$\displaystyle {(x-4)(x+3)}={0}$;
• $\displaystyle {x}={4}$: $\displaystyle {y}={3}$; $\displaystyle {x}={-3}$: $\displaystyle {y}={-4}$;
• נקודות החיתוך: $\displaystyle (4,3)$ ו-$\displaystyle (-3,-4)$. הקטע שביניהן הוא מיתר של המעגל.

המעגל: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$; הישר: $\displaystyle {y}={x+1}$.

מצאו את נקודות החיתוך.

האם הישר $\displaystyle {y}={-x+8}$ פוגש את המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={16}$?
ענו בעזרת פתרון המערכת.

הישר $\displaystyle {x}={k}$ מקביל לציר ה-$\displaystyle y$.
בעבור איזה $\displaystyle k$ הוא משיק למעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}={9}$?