דלג לתוכן

מקומות גאומטריים

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 26לימוד

מקומות גאומטריים

מקום גאומטרי

מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות שיש להן תכונה נתונה – ורק הן. כדי להוכיח שקבוצת נקודות היא המקום הגאומטרי של תכונה, מוכיחים שני כיוונים:

  • לכל נקודה בקבוצה יש התכונה;
  • כל נקודה שיש לה התכונה שייכת לקבוצה.

הכיוון הראשון לבדו אינו מספיק: גם לכמה נקודות של מעגל יש מרחק R\displaystyle R מהמרכז שלו, אבל המעגל הוא המקום הגאומטרי משום שכל נקודה כזאת נמצאת עליו.

הדוגמה הראשונה היא ההגדרה של המעגל: המקום הגאומטרי של הנקודות שנמצאות במרחק R\displaystyle R מהנקודה O\displaystyle O.

האנך האמצעי

האנך האמצעי לקטע הוא הישר שמאונך לקטע ועובר דרך האמצע שלו.

משפט: האנך האמצעי לקטע הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע.

נתון: M\displaystyle M אמצע AB\displaystyle AB, ו-P\displaystyle P על האנך ל-AB\displaystyle AB ב-M\displaystyle M.
צריך להוכיח: PA=PB\displaystyle {PA}={PB}.

בהוכחה שלפניכם נוכיח את הכיוון הראשון בעזרת משולשים חופפים (צ.ז.צ):

טענהנימוק
1AM=MB\displaystyle {AM}={MB}נתון (M\displaystyle M אמצע AB\displaystyle AB)
2∠PMA=∠PMB\displaystyle {\angle PMA}={\angle PMB}PM⊥AB\displaystyle PM\perp AB: שתי הזוויות ישרות
3PM=PM\displaystyle {PM}={PM}צלע משותפת
4△PMA≅△PMB\displaystyle \triangle PMA\cong\triangle PMB(1), (2), (3); צ.ז.צ
5PA=PB\displaystyle {PA}={PB}(4); צלעות מתאימות במשולשים חופפים
הכיוון השני

נתון: PA=PB\displaystyle {PA}={PB}; M\displaystyle M אמצע AB\displaystyle AB.
צריך להוכיח: PM⊥AB\displaystyle PM\perp AB – כלומר, P\displaystyle P על האנך האמצעי.

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים PMA\displaystyle PMA ו-PMB\displaystyle PMB חופפים (צ.צ.צ), ולכן שתי הזוויות שליד M\displaystyle M שוות – וסכומן 180∘\displaystyle 180^{\circ}:

טענהנימוק
1PA=PB\displaystyle {PA}={PB}נתון
2AM=MB\displaystyle {AM}={MB}נתון (M\displaystyle M אמצע AB\displaystyle AB)
3PM=PM\displaystyle {PM}={PM}צלע משותפת
4△PMA≅△PMB\displaystyle \triangle PMA\cong\triangle PMB(1), (2), (3); צ.צ.צ
5∠PMA=∠PMB\displaystyle {\angle PMA}={\angle PMB}(4); זוויות מתאימות במשולשים חופפים
6PM⊥AB\displaystyle PM\perp AB(5); שתי זוויות צמודות שוות – סכומן 180∘\displaystyle 180^{\circ}, ולכן כל אחת 90∘\displaystyle 90^{\circ}
תרגיל 1

ABC\displaystyle ABC ו-DBC\displaystyle DBC משולשים שווי שוקיים עם בסיס משותף BC\displaystyle BC: AB=AC\displaystyle {AB}={AC} ו-DB=DC\displaystyle {DB}={DC}.
A\displaystyle A ו-D\displaystyle D משני צדי BC\displaystyle BC.
הוכיחו: AD⊥BC\displaystyle AD\perp BC.
(רמז: איפה נמצאות A\displaystyle A ו-D\displaystyle D ביחס לקטע BC\displaystyle BC?)

האנך האמצעי במערכת צירים

האנך האמצעי ל-AB\displaystyle AB הוא הישר שעובר דרך אמצע AB\displaystyle AB, ומכפלת השיפוע שלו בשיפוע של AB\displaystyle AB היא −1\displaystyle -1.

דוגמה: A(0,1)\displaystyle A(0,1) ו-B(4,3)\displaystyle B(4,3).

  • האמצע: M(2,2)\displaystyle M(2,2);
  • השיפוע של AB\displaystyle AB: 3−14−0=12\displaystyle {\frac{3-1}{4-0}}={\frac{1}{2}}, ולכן השיפוע של האנך האמצעי הוא −2\displaystyle -2;
  • האנך האמצעי: y−2=−2(x−2)\displaystyle {y-2}={-2(x-2)}, או y=−2x+6\displaystyle {y}={-2x+6}.
תרגיל 2

A(−2,1)\displaystyle A(-2,1) ו-B(4,5)\displaystyle B(4,5) שתי נקודות.

א

כתבו את המשוואה של האנך האמצעי ל-AB\displaystyle AB.

A=(−2,1)\displaystyle A=(-2,1)
B=(4,5)\displaystyle B=(4,5)

ב

הנקודה P\displaystyle P על הישר y=x−3\displaystyle {y}={x-3}, במרחקים שווים מ-A\displaystyle A ומ-B\displaystyle B.
מצאו את P\displaystyle P.

    חוצה הזווית

    המרחק של נקודה מישר הוא האורך של האנך מהנקודה אל הישר.

    משפט: חוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שבתוך הזווית ונמצאות במרחקים שווים משוקי הזווית.

    נתון: AP\displaystyle AP חוצה את הזווית BAC\displaystyle BAC; PK⊥AB\displaystyle PK\perp AB ו-PL⊥AC\displaystyle PL\perp AC.
    צריך להוכיח: PK=PL\displaystyle {PK}={PL}.

    בהוכחה שלפניכם נוכיח את הכיוון הראשון בעזרת משולשים חופפים (ז.צ.ז); הכיוון השני הוא תרגיל 3.

    טענהנימוק
    1∠KAP=∠LAP\displaystyle {\angle KAP}={\angle LAP}נתון (AP\displaystyle AP חוצה את הזווית)
    2∠AKP=∠ALP\displaystyle {\angle AKP}={\angle ALP}PK⊥AB\displaystyle PK\perp AB, PL⊥AC\displaystyle PL\perp AC: שתי הזוויות ישרות
    3∠APK=∠APL\displaystyle {\angle APK}={\angle APL}(1), (2); סכום הזוויות במשולש 180∘\displaystyle 180^{\circ}
    4AP=AP\displaystyle {AP}={AP}צלע משותפת
    5△AKP≅△ALP\displaystyle \triangle AKP\cong\triangle ALP(1), (3), (4); ז.צ.ז
    6PK=PL\displaystyle {PK}={PL}(5); צלעות מתאימות במשולשים חופפים
    תרגיל 3

    הנקודה P\displaystyle P בתוך הזווית BAC\displaystyle BAC.
    PK⊥AB\displaystyle PK\perp AB, PL⊥AC\displaystyle PL\perp AC, ו-PK=PL\displaystyle {PK}={PL}.
    הוכיחו: ∠KAP=∠LAP\displaystyle {\angle KAP}={\angle LAP} – כלומר, P\displaystyle P על חוצה הזווית.
    (רמז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן.)

    ישרים המקבילים לישר

    עוד שני מקומות גאומטריים עשויים מישרים מקבילים:

    • המקום הגאומטרי של הנקודות שנמצאות במרחק d\displaystyle d מהישר ℓ\displaystyle \ell הוא שני ישרים המקבילים ל-ℓ\displaystyle \ell, אחד מכל צד שלו, במרחק d\displaystyle d ממנו;
    • המקום הגאומטרי של הנקודות שנמצאות במרחקים שווים משני ישרים מקבילים הוא הישר שמקביל לשניהם ועובר באמצע ביניהם.
    תרגיל 4

    תארו במילים כל מקום גאומטרי, והסבירו.

    1. המרכזים של כל המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות נתונות A\displaystyle A ו-B\displaystyle B.
    2. הנקודות שנמצאות במרחק 3\displaystyle 3 מהישר y=1\displaystyle {y}={1} – כתבו את המשוואות שלהן.
    3. הנקודות בתוך משולש שנמצאות במרחקים שווים משתי הצלעות שלו, AB\displaystyle AB ו-AC\displaystyle AC.