מפגש התיכונים

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 8 מתוך 26לימוד

מפגש התיכונים

התיכונים נפגשים בנקודה אחת

תיכון במשולש מחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו.

משפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת. הנקודה מחלקת כל תיכון ביחס $\displaystyle 2:1$ – החלק שליד הקודקוד גדול פי $\displaystyle 2$ מהחלק האחר.

\displaystyle AG

\displaystyle =

\displaystyle 2GD

מפגש התיכונים הוא מרכז הכובד של המשולש: משולש גזור מקרטון מתאזן על סיכה שנעוצה בו.

הוכחת המשפט

נתון: $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle F$ אמצע $\displaystyle AB$ ; התיכונים $\displaystyle BE$ ו- $\displaystyle CF$ נחתכים בנקודה $\displaystyle G$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {BG}={2GE}$ ו- $\displaystyle {CG}={2GF}$ .

בהוכחה שלפניכם ניקח את $\displaystyle M$ ו- $\displaystyle N$ , האמצעים של $\displaystyle BG$ ושל $\displaystyle CG$ , ונראה בעזרת שני קטעי אמצעים ש- $\displaystyle FENM$ מקבילית. האלכסונים שלה חוצים זה את זה – וזה מחלק את $\displaystyle BE$ לשלושה חלקים שווים.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle FE\parallel BC$	$\displaystyle FE$ קטע אמצעים במשולש $\displaystyle ABC$
2	$\displaystyle {FE}={\frac{1}{2}BC}$	קטע אמצעים שווה למחצית הצלע השלישית
3	$\displaystyle MN\parallel BC$	$\displaystyle M$ , $\displaystyle N$ אמצעי $\displaystyle GB$ , $\displaystyle GC$ : $\displaystyle MN$ קטע אמצעים במשולש $\displaystyle GBC$
4	$\displaystyle {MN}={\frac{1}{2}BC}$	קטע אמצעים שווה למחצית הצלע השלישית
5	$\displaystyle {FE}={MN}$	(2), (4)
6	$\displaystyle FENM$ מקבילית	(1), (3), (5); זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות
7	$\displaystyle {GM}={GE}$	(6); האלכסונים $\displaystyle EM$ ו- $\displaystyle FN$ של מקבילית חוצים זה את זה
8	$\displaystyle {BG}={2GE}$	(7); $\displaystyle {BM}={MG}$ – $\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle BG$ – ולכן $\displaystyle {BG}={2MG}={2GE}$
9	$\displaystyle {CG}={2GF}$	(6); באותו אופן, $\displaystyle {GN}={GF}$ ו- $\displaystyle {CN}={NG}$

לכן התיכון $\displaystyle BE$ חותך את התיכון $\displaystyle CF$ בנקודה שנמצאת בשני שלישים מהדרך מ- $\displaystyle C$ . אותה הוכחה, בעבור התיכונים $\displaystyle BE$ ו- $\displaystyle AD$ , מראה ש- $\displaystyle AD$ חותך את $\displaystyle BE$ בשני שלישים מהדרך מ- $\displaystyle B$ – באותה נקודה $\displaystyle G$ . לכן שלושת התיכונים עוברים דרך $\displaystyle G$ .

תרגיל 1

$\displaystyle G$ מפגש התיכונים של המשולש $\displaystyle ABC$ ; $\displaystyle AD$ ו- $\displaystyle BE$ תיכונים.

\displaystyle {AD}={12}

. חשבו את

\displaystyle AG

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle {BG}={10}

. חשבו את התיכון

\displaystyle BE

הזווית

\displaystyle C

ישרה, והיתר

\displaystyle {AB}={18}

. התיכון

\displaystyle CF

יוצא אל היתר. חשבו את

\displaystyle CG

מפגש התיכונים במערכת צירים

במערכת צירים, מפגש התיכונים הוא הממוצע של שלושת הקודקודים:

\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)

למה, בעבור שיעור ה- $\displaystyle x$ : ל- $\displaystyle D$ , אמצע $\displaystyle BC$ , יש $\displaystyle {x_D}={\frac{x_2+x_3}{2}}$ , ו- $\displaystyle G$ נמצאת בשני שלישים מהדרך מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle D$ :

x_G=x_1+\frac{2}{3}(x_D-x_1)=\frac{1}{3}x_1+\frac{2}{3}\cdot\frac{x_2+x_3}{2}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}

תרגיל 2

הקודקודים של המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(1,7)$ , $\displaystyle B(-3,-1)$ ו- $\displaystyle C(8,0)$ .

$\displaystyle D$ אמצע $\displaystyle BC$ . מצאו אותה.

\displaystyle x_D

\displaystyle y_D

מצאו את מפגש התיכונים, $\displaystyle G$ .

\displaystyle x_G

\displaystyle y_G

חשבו את האורך של התיכון

\displaystyle AD

, בצורה הפשוטה ביותר.

תרגיל 3

במשולש $\displaystyle ABC$ , התיכונים $\displaystyle BE$ ו- $\displaystyle CF$ שווים ונחתכים בנקודה $\displaystyle G$ .
הוכיחו: $\displaystyle {AB}={AC}$ .
(רמז: הראו קודם ש- $\displaystyle {BG}={CG}$ ו- $\displaystyle {GF}={GE}$ .)

תרגיל 4

$\displaystyle ABCD$ מקבילית, ו- $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle AE$ חותך את האלכסון $\displaystyle BD$ בנקודה $\displaystyle G$ .
הוכיחו: $\displaystyle {BD}={3BG}$ .
(רמז: העבירו את האלכסון $\displaystyle AC$ . באיזה משולש $\displaystyle AE$ ו- $\displaystyle BG$ נמצאים על שניים מהתיכונים?)

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$