קטע אמצעים במשולש ובטרפז

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 7 מתוך 26לימוד

קטע אמצעים במשולש ובטרפז

תזכורת: המשפטים מכיתות ח’ ו-ט'

ההוכחות בקורס נשענות על הגדרות ועל משפטים שכבר הוכחו. מכיתות ח’ ו-ט’ יש לכם:

משולשים חופפים – צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ, ושתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן (שיעור 11 מעמיק בו);
המשולש שווה השוקיים – זוויות הבסיס שוות; חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים;
זוויות – זוויות קודקודיות שוות; זוויות מתאימות ומתחלפות בין ישרים מקבילים שוות, ושוויון שלהן מראה שהישרים מקבילים; סכום הזוויות במשולש $\displaystyle 180^{\circ}$ , וזווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה;
המרובעים – המקבילית (צלעות נגדיות שוות; האלכסונים חוצים זה את זה; מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית), המלבן, המעוין, הריבוע, הדלתון והטרפז;
המשולש ישר הזווית – משפט פיתגורס; התיכון ליתר שווה למחצית היתר; הניצב שמול זווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ שווה למחצית היתר.

איך כותבים הוכחה

הוכחה היא שרשרת של טענות, ולכל טענה נימוק:

נתון – מה שהשאלה אומרת; צריך להוכיח – הטענה שבסוף השרשרת;
בכל שורה – טענה והנימוק שלה: “נתון”, הגדרה, משפט, או שורות קודמות לפי המספרים שלהן;
השרטוט עוזר למצוא את ההוכחה, אבל אינו מוכיח דבר: מה שנראה בו שווה אולי אינו שווה.

משפט אומר “אם א, אז ב”. המשפט ההפוך לו אומר “אם ב, אז א” – טענה בפני עצמה, שצריכה הוכחה משלה ואינה תמיד נכונה.

קטע אמצעים במשולש

קטע אמצעים במשולש הוא קטע שמחבר את האמצעים של שתי צלעות.

משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

\displaystyle DE

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{2}BC

נתון: $\displaystyle D$ אמצע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle DE\parallel BC$ ו- $\displaystyle {DE}={\frac{1}{2}BC}$ .

בהוכחה שלפניכם נאריך את $\displaystyle DE$ מעבר ל- $\displaystyle E$ עד נקודה $\displaystyle F$ , כך ש- $\displaystyle {EF}={DE}$ . משולשים חופפים יראו ש- $\displaystyle DBCF$ מקבילית, שהצלע שלה $\displaystyle DF$ מקבילה ושווה ל- $\displaystyle BC$ – ו- $\displaystyle DE$ הוא מחצית $\displaystyle DF$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AE}={EC}$	נתון ( $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AC$ )
2	$\displaystyle {DE}={EF}$	בנייה
3	$\displaystyle {\angle AED}={\angle CEF}$	זוויות קודקודיות
4	$\displaystyle \triangle ADE\cong\triangle CFE$	(1), (2), (3); צ.ז.צ
5	$\displaystyle {CF}={AD}$	(4); צלעות מתאימות במשולשים חופפים
6	$\displaystyle {CF}={DB}$	(5); $\displaystyle {AD}={DB}$ – $\displaystyle D$ אמצע $\displaystyle AB$
7	$\displaystyle {\angle ECF}={\angle EAD}$	(4); זוויות מתאימות במשולשים חופפים
8	$\displaystyle CF\parallel DB$	(7); זוויות מתחלפות שוות – הישרים $\displaystyle CF$ ו- $\displaystyle AB$ מקבילים
9	$\displaystyle DBCF$ מקבילית	(6), (8); זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות
10	$\displaystyle DE\parallel BC$	(9); צלעות נגדיות במקבילית מקבילות
11	$\displaystyle {DE}={\frac{1}{2}BC}$	(2), (9); $\displaystyle {DF}={BC}$ – צלעות נגדיות במקבילית – ו- $\displaystyle {DE}={\frac{1}{2}DF}$

המשפטים ההפוכים

שני משפטים מזהים קטע אמצעים:

ישר שעובר דרך אמצע צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית;
קטע שקצותיו על שתי צלעות של משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה, הוא קטע אמצעים.

למה הראשון נכון: הישר שעובר דרך $\displaystyle D$ , אמצע $\displaystyle AB$ , ומקביל ל- $\displaystyle BC$ חותך את $\displaystyle AC$ בנקודה $\displaystyle E$ . גם קטע האמצעים מ- $\displaystyle D$ אל אמצע $\displaystyle AC$ מקביל ל- $\displaystyle BC$ – ודרך $\displaystyle D$ עובר רק ישר אחד המקביל ל- $\displaystyle BC$ . לכן שניהם אותו ישר, ו- $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AC$ .

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle D$ אמצע $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle F$ אמצע $\displaystyle BC$ .
הוכיחו: $\displaystyle ADFE$ מקבילית.

תרגיל 2

אורכי הצלעות של משולש הם $\displaystyle 10$ , $\displaystyle 14$ ו- $\displaystyle 18$ .
שלושת קטעי האמצעים שלו יוצרים משולש קטן.
חשבו את ההיקף של המשולש הקטן.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

קטע אמצעים בטרפז

קטע האמצעים בטרפז מחבר את האמצעים של שתי השוקיים.

משפט: קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.

\displaystyle EF

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a+b}{2}

נתון: $\displaystyle ABCD$ טרפז, $\displaystyle BC\parallel AD$ ; $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle F$ אמצע $\displaystyle CD$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle EF\parallel AD$ ו- $\displaystyle {EF}={\frac{1}{2}(AD+BC)}$ .

בהוכחה שלפניכם נמשיך את $\displaystyle BF$ עד שהוא פוגש את הישר $\displaystyle AD$ בנקודה $\displaystyle G$ . משולשים חופפים יראו ש- $\displaystyle F$ אמצע $\displaystyle BG$ ו- $\displaystyle {DG}={BC}$ , ולכן $\displaystyle EF$ קטע אמצעים במשולש $\displaystyle ABG$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {CF}={FD}$	נתון ( $\displaystyle F$ אמצע $\displaystyle CD$ )
2	$\displaystyle {\angle BFC}={\angle GFD}$	זוויות קודקודיות
3	$\displaystyle {\angle BCF}={\angle GDF}$	זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים $\displaystyle BC$ ו- $\displaystyle AG$
4	$\displaystyle \triangle BCF\cong\triangle GDF$	(1), (2), (3); ז.צ.ז
5	$\displaystyle {BF}={FG}$	(4); צלעות מתאימות במשולשים חופפים
6	$\displaystyle {BC}={DG}$	(4); צלעות מתאימות במשולשים חופפים
7	$\displaystyle EF\parallel AD$	(5); $\displaystyle EF$ קטע אמצעים במשולש $\displaystyle ABG$ – מקביל ל- $\displaystyle AG$
8	$\displaystyle {EF}={\frac{1}{2}AG}$	(5); קטע אמצעים שווה למחצית הצלע השלישית
9	$\displaystyle {EF}={\frac{1}{2}(AD+BC)}$	(6), (8); $\displaystyle {AG}={AD+DG}$

ישר דרך אמצע שוק

משפט: בטרפז, ישר שעובר דרך אמצע שוק אחת ומקביל לבסיסים חוצה את השוק השנייה.

הנימוק הוא זה של המשפט ההפוך במשולש: קטע האמצעים שיוצא מאותו אמצע מקביל לבסיסים, ודרך נקודה עובר רק ישר אחד המקביל לישר נתון.

תרגיל 3

חשבו את האורכים החסרים.

אורכי הבסיסים של טרפז הם

\displaystyle 7

ו-

\displaystyle 15

. מה אורך קטע האמצעים שלו?

קטע האמצעים של טרפז הוא

\displaystyle 12

, ואחד הבסיסים

\displaystyle 9

. מה אורך הבסיס השני?

תרגיל 4

$\displaystyle ABCD$ מרובע כלשהו.
$\displaystyle E$ , $\displaystyle F$ , $\displaystyle G$ ו- $\displaystyle H$ אמצעי הצלעות $\displaystyle AB$ , $\displaystyle BC$ , $\displaystyle CD$ ו- $\displaystyle DA$ .
הוכיחו: $\displaystyle EFGH$ מקבילית.
(רמז: העבירו את האלכסון $\displaystyle AC$ .)

תרגיל 5

$\displaystyle ABCD$ טרפז, $\displaystyle BC\parallel AD$ , ו- $\displaystyle {BC}={6}$ , $\displaystyle {AD}={14}$ .
קטע האמצעים $\displaystyle EF$ חותך את האלכסון $\displaystyle AC$ בנקודה $\displaystyle K$ ואת האלכסון $\displaystyle BD$ בנקודה $\displaystyle L$ .

חשבו את

\displaystyle EK

. (רמז:

\displaystyle K

אמצע

\displaystyle AC

– למה?)

חשבו את

\displaystyle KL

, החלק של קטע האמצעים שבין האלכסונים.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$