ישרים מקבילים, ישרים מאונכים ונקודת חיתוך

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 26לימוד

ישרים מקבילים, ישרים מאונכים ונקודת חיתוך

ישרים מקבילים

שני ישרים שיש להם שיפוע מקבילים בדיוק כשהשיפועים שלהם שווים:

\displaystyle m_1

\displaystyle =

\displaystyle m_2

אותו שיפוע ונקודה אחרת על ציר ה- $\displaystyle y$ – שני ישרים מקבילים: $\displaystyle {y}={2x+1}$ ו- $\displaystyle {y}={2x-3}$ .
אותו שיפוע ואותה נקודה על ציר ה- $\displaystyle y$ – ישר אחד, שנכתב פעמיים: $\displaystyle {y}={2x+1}$ ו- $\displaystyle {4x-2y+2}={0}$ .
שיפועים שונים – הישרים נחתכים בנקודה אחת.

ישרים מאונכים

שני ישרים שיש להם שיפוע מאונכים זה לזה בדיוק כשמכפלת השיפועים שלהם היא $\displaystyle -1$ :

\displaystyle m_1\cdot m_2

\displaystyle =

\displaystyle -1

\displaystyle y=2x

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x

\displaystyle A=(1,2)

\displaystyle B=(-2,1)

למה, בעבור הישרים שעוברים דרך ראשית הצירים $\displaystyle {y}={2x}$ ו- $\displaystyle {y}={-\frac{1}{2}x}$ :

$\displaystyle A(1,2)$ על הישר הראשון: מ- $\displaystyle O$ , $\displaystyle 1$ ימינה ו- $\displaystyle 2$ למעלה.
נסובב את המשולש של הצעד הזה ברבע סיבוב סביב $\displaystyle O$ : $\displaystyle 1$ ימינה הופך ל- $\displaystyle 1$ למעלה, ו- $\displaystyle 2$ למעלה הופך ל- $\displaystyle 2$ שמאלה – הנקודה $\displaystyle B(-2,1)$ , ו- $\displaystyle OB\perp OA$ .
השיפוע של $\displaystyle OB$ : $\displaystyle {\frac{1}{-2}}={-\frac{1}{2}}$ , ו- $\displaystyle {2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}={-1}$ .

לכל שיפוע $\displaystyle m$ , הצעד $\displaystyle (1,m)$ מסתובב לצעד $\displaystyle (-m,1)$ , ששיפועו $\displaystyle -\frac{1}{m}$ . ישרים שאינם עוברים דרך הראשית מזיזים אליה בלי לשנות את השיפועים שלהם. ישר המקביל לציר ה- $\displaystyle x$ מאונך לישר המקביל לציר ה- $\displaystyle y$ , שאין לו שיפוע.

תרגיל 1

איך מונחים שני הישרים: אותו ישר, מקבילים, מאונכים, או נחתכים בלי להיות מאונכים?

$\displaystyle {y}={-3x+2}$ ו- $\displaystyle {6x+2y-4}={0}$
$\displaystyle {y}={\frac{2}{5}x-1}$ ו- $\displaystyle {5x+2y}={7}$
$\displaystyle {y}={4x+1}$ ו- $\displaystyle {y}={4x-1}$
$\displaystyle {x-2y}={0}$ ו- $\displaystyle {y}={x}$

תרגיל 2

כתבו את המשוואה של הישר שעובר דרך הנקודה $\displaystyle P(1,1)$ ומקביל לישר $\displaystyle {2x-y+5}={0}$ .

\displaystyle 2x-y+5=0

\displaystyle P=(1,1)

תרגיל 3

כתבו את המשוואה של הישר שעובר דרך הנקודה $\displaystyle P(2,5)$ ומאונך לישר $\displaystyle {3x+4y}={0}$ .

\displaystyle 3x+4y=0

\displaystyle P=(2,5)

נקודת החיתוך של שני ישרים

נקודת החיתוך נמצאת על שני הישרים, ולכן השיעורים שלה מקיימים את שתי המשוואות: היא הפתרון של מערכת המשוואות שלהם.

פתרון אחד – הישרים נחתכים בנקודה אחת.
אין פתרון – הישרים מקבילים: המערכת מובילה לטענה שקרית, כמו $\displaystyle {0}={4}$ .
אינסוף פתרונות – זה ישר אחד: המערכת מובילה לטענה שתמיד נכונה, כמו $\displaystyle {0}={0}$ .

דוגמה: $\displaystyle {y}={2x-1}$ ו- $\displaystyle {x+y}={8}$ .

$\displaystyle {x+(2x-1)}={8}$ , ולכן $\displaystyle {3x}={9}$ ו- $\displaystyle {x}={3}$ ;
$\displaystyle {y}={2\cdot3-1}={5}$ ;
הישרים נחתכים בנקודה $\displaystyle (3,5)$ .

תרגיל 4

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים $\displaystyle {y}={3x-5}$ ו- $\displaystyle {2x+y}={10}$ .

המרחק של נקודה מישר

המרחק של נקודה מישר הוא האורך של האנך מהנקודה אל הישר. שלושה צעדים מוצאים אותו:

הישר שעובר דרך הנקודה ומאונך לישר הנתון;
עקב האנך – נקודת החיתוך של שני הישרים;
המרחק בין הנקודה לעקב האנך.

כל קטע אחר מהנקודה אל הישר ארוך יותר: הוא היתר של משולש ישר זווית שאחד הניצבים שלו הוא האנך.

תרגיל 5

הישר $\displaystyle \ell$ : $\displaystyle {y}={x+1}$ , והנקודה $\displaystyle P(5,0)$ .

כתבו את המשוואה של הישר שעובר דרך $\displaystyle P$ ומאונך ל- $\displaystyle \ell$ .

\displaystyle y=x+1

\displaystyle P=(5,0)

מצאו את עקב האנך.

חשבו את המרחק של

\displaystyle P

מ-

\displaystyle \ell

, בצורה הפשוטה ביותר.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 6

הישרים: $\displaystyle {kx+2y}={6}$ ו- $\displaystyle {3x-y}={4}$ .

בעבור איזה

\displaystyle k

הישרים מקבילים? (רמז: השיפוע של הראשון הוא

\displaystyle -\frac{k}{2}

בעבור איזה

\displaystyle k

הישרים מאונכים?

כמה פתרונות יש למערכת של שתי המשוואות בעבור ה- $\displaystyle k$ של סעיף א?
ובעבור כל $\displaystyle k$ אחר?
הסבירו.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$