דלג לתוכן

תרגול: המעגל

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 25 מתוך 26תרגול

תרגול: המעגל

1

המשולש שווה השוקיים ABC\displaystyle ABC (AB=AC\displaystyle {AB}={AC}) חסום במעגל שמרכזו O\displaystyle O.
AT\displaystyle AT משיק למעגל בנקודה A\displaystyle A.

א

הוכיחו: AT∥BC\displaystyle AT\parallel BC.

ב

∠BAC=40∘\displaystyle {\angle BAC}={40^{\circ}}.

∠ABC\displaystyle \angle ABC

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ∠BOC\displaystyle \angle BOC

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ∠TAC\displaystyle \angle TAC – הזווית בין המשיק למיתר AC\displaystyle AC, בצד של T\displaystyle T

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        2

        במעגל שמרכזו O\displaystyle O ורדיוסו 10\displaystyle 10, אורך המיתר AB\displaystyle AB הוא 16\displaystyle 16.
        OM⊥AB\displaystyle OM\perp AB, ו-M\displaystyle M על AB\displaystyle AB; הקרן OM\displaystyle OM חותכת את המעגל בנקודה N\displaystyle N.

        א
        חשבו את OM\displaystyle OM, המרחק של המיתר מהמרכז.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          חשבו את השטח של המשולש AOB\displaystyle AOB.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג
            חשבו את AN\displaystyle AN, בצורה הפשוטה ביותר.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ד

              אורך של מיתר אחר במעגל הוא 12\displaystyle 12.
              האם הוא קרוב יותר למרכז מ-AB\displaystyle AB, או רחוק יותר?
              הסבירו בלי לחשב את המרחק שלו.

              3

              PA\displaystyle PA ו-PB\displaystyle PB משיקים למעגל שמרכזו O\displaystyle O ורדיוסו 6\displaystyle 6, בנקודות A\displaystyle A ו-B\displaystyle B.
              ∠APB=60∘\displaystyle {\angle APB}={60^{\circ}}.

              א

              הוכיחו: OP⊥AB\displaystyle OP\perp AB.

              ב
              חשבו את OP\displaystyle OP. (רמז: ∠APO=30∘\displaystyle {\angle APO}={30^{\circ}}.)

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג
                חשבו את PA\displaystyle PA, בצורה הפשוטה ביותר.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ד

                  איזה משולש הוא APB\displaystyle APB?
                  מצאו את AB\displaystyle AB, והסבירו.

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    4

                    המרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל.
                    האלכסון AC\displaystyle AC חוצה את הזווית BAD\displaystyle BAD.

                    א

                    הוכיחו: ∠CBD=∠CDB\displaystyle {\angle CBD}={\angle CDB} – המשולש BCD\displaystyle BCD שווה שוקיים.

                    ב

                    ∠BAD=70∘\displaystyle {\angle BAD}={70^{\circ}}.

                    ∠BCD\displaystyle \angle BCD

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ∠CBD\displaystyle \angle CBD

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        5

                        מיתרים, חותכים ומשיקים.

                        א
                        המיתרים AB\displaystyle AB ו-CD\displaystyle CD נחתכים בנקודה E\displaystyle E. AE=x\displaystyle {AE}={x}, EB=x+5\displaystyle {EB}={x+5}, CE=4\displaystyle {CE}={4} ו-ED=9\displaystyle {ED}={9}. מצאו את x\displaystyle x.
                          איזה מהפתרונות הוא אורך? מצאו את AB\displaystyle AB.

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            ב
                            מנקודה P\displaystyle P יוצאים משיק PT\displaystyle PT וחותך PAB\displaystyle PAB: PA=4\displaystyle {PA}={4} ו-PB=16\displaystyle {PB}={16}. חשבו את PT\displaystyle PT.

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              ג
                              שני חותכים מ-P\displaystyle P: PA=5\displaystyle {PA}={5}, AB=7\displaystyle {AB}={7}, PC=6\displaystyle {PC}={6}. מצאו את CD\displaystyle CD.
                                6

                                AB\displaystyle AB קוטר של המעגל, ו-C\displaystyle C על המעגל.
                                AC=6\displaystyle {AC}={6} ו-BC=8\displaystyle {BC}={8}.
                                CD\displaystyle CD הגובה ל-AB\displaystyle AB.

                                א

                                הוכיחו: △ACD∼△CBD\displaystyle \triangle ACD\sim\triangle CBD.

                                ב
                                חשבו את AB\displaystyle AB.

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  ג
                                  חשבו את CD\displaystyle CD. (רמז: השטח של ABC\displaystyle ABC בשתי דרכים.)

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    ד
                                    חשבו את AD\displaystyle AD.

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה