תרגול: משולשים, קטעי אמצעים ומקומות גאומטריים

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 26תרגול

תרגול: משולשים, קטעי אמצעים ומקומות גאומטריים

$\displaystyle D$ , $\displaystyle E$ ו- $\displaystyle F$ אמצעי הצלעות $\displaystyle AB$ , $\displaystyle BC$ ו- $\displaystyle CA$ של המשולש $\displaystyle ABC$ .
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ADF\cong\triangle DBE$ .

במשולש $\displaystyle ABC$ , התיכונים $\displaystyle AD$ , $\displaystyle BE$ ו- $\displaystyle CF$ נפגשים בנקודה $\displaystyle G$ .
$\displaystyle {AD}={15}$ , $\displaystyle {BE}={18}$ ו- $\displaystyle {CG}={8}$ .

חשבו את

\displaystyle AG

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את

\displaystyle GE

חשבו את התיכון

\displaystyle CF

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה.
$\displaystyle M$ אמצע היתר $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle D$ אמצע $\displaystyle AC$ .
הוכיחו: $\displaystyle MD\perp AC$ .

הסבירו במילים למה $\displaystyle {MA}={MC}$ , בעזרת האנך האמצעי – הוכחה חדשה לכך שהתיכון ליתר שווה למחצית היתר.

$\displaystyle A(1,2)$ ו- $\displaystyle B(7,4)$ שתי נקודות.

כתבו את המשוואה של המקום הגאומטרי של הנקודות שנמצאות במרחקים שווים מ- $\displaystyle A$ ומ- $\displaystyle B$ .

\displaystyle A=(1,2)

\displaystyle B=(7,4)

מצאו את הנקודה על ציר ה- $\displaystyle x$ שנמצאת במרחקים שווים מ- $\displaystyle A$ ומ- $\displaystyle B$ .

הקודקודים של המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(-3,0)$ , $\displaystyle B(3,0)$ ו- $\displaystyle C(0,4)$ .

הסבירו למה המרכזים של המעגל החוסם ושל המעגל החסום נמצאים שניהם על ציר ה- $\displaystyle y$ .

המרכז של המעגל החוסם הוא

\displaystyle O(0,k)

, ו-

\displaystyle {OB}={OC}

. מצאו את

\displaystyle k

חשבו את הרדיוס של המעגל החוסם.

הרדיוס

\displaystyle r

של המעגל החסום: שטח המשולש שווה ל-

\displaystyle \frac{1}{2}r

כפול ההיקף שלו (חלקו את המשולש לשלושה משולשים שקודקודם המרכז). חשבו את

\displaystyle r

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle BE$ ו- $\displaystyle CF$ גבהים, ו- $\displaystyle {BE}={CF}$ .
הוכיחו: $\displaystyle {AB}={AC}$ .
(רמז: במשולשים $\displaystyle BCE$ ו- $\displaystyle CBF$ , איזו צלע נמצאת מול הזווית הישרה?)

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$