דמיון משולשים במעגל

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 24 מתוך 26לימוד

דמיון משולשים במעגל

שני מיתרים נחתכים

זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת שוות, ולכן מעגל נותן זוויות שוות – ועם שני זוגות של זוויות שוות, משולשים דומים (ז.ז). הדוגמה שלפניכם היא הראשונה משלוש תוצאות כאלה; את האחרות תפגשו בתרגילים, וכל אחת מוכחת בזוג משולשים דומים משלה.

דוגמה: המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$ . אז $\displaystyle {AE\cdot EB}={CE\cdot ED}$ .

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים $\displaystyle AEC$ ו- $\displaystyle DEB$ דומים, ונכפיל את הפרופורציה של הצלעות שלהם:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {\angle BAC}={\angle BDC}$	זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת $\displaystyle BC$
2	$\displaystyle {\angle AEC}={\angle DEB}$	זוויות קודקודיות
3	$\displaystyle \triangle AEC\sim\triangle DEB$	(1), (2); משפט הדמיון ז.ז
4	$\displaystyle {\frac{AE}{DE}}={\frac{CE}{BE}}$	(3); במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות
5	$\displaystyle {AE\cdot BE}={CE\cdot DE}$	(4)

תרגיל 1

המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$ .
$\displaystyle {AE}={6}$ , $\displaystyle {EB}={4}$ ו- $\displaystyle {CE}={3}$ .
מצאו את $\displaystyle ED$ .

תרגיל 2

שני חותכים יוצאים מנקודה $\displaystyle P$ שמחוץ למעגל: אחד חותך אותו בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ , והשני בנקודות $\displaystyle C$ ו- $\displaystyle D$ ( $\displaystyle A$ בין $\displaystyle P$ ל- $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ בין $\displaystyle P$ ל- $\displaystyle D$ ).

הוכיחו: $\displaystyle \triangle PAD\sim\triangle PCB$ .

הוכיחו: $\displaystyle {PA\cdot PB}={PC\cdot PD}$ .

\displaystyle {PA}={3}

\displaystyle {AB}={5}

ו-

\displaystyle {PC}={4}

. מצאו את

\displaystyle PD

תרגיל 3

מנקודה $\displaystyle P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק $\displaystyle PT$ , שנוגע במעגל בנקודה $\displaystyle T$ , וחותך שחותך את המעגל בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ ( $\displaystyle A$ בין $\displaystyle P$ ל- $\displaystyle B$ ).

הוכיחו: $\displaystyle \triangle PTA\sim\triangle PBT$ , ולכן $\displaystyle {PT^{2}}={PA\cdot PB}$ .
(רמז: הזווית בין המשיק למיתר $\displaystyle TA$ .)

\displaystyle {PA}={4}

ו-

\displaystyle {AB}={5}

. חשבו את

\displaystyle PT

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

הרדיוסים של מעגלי משולשים דומים

במשולשים דומים שיחס הדמיון שלהם $\displaystyle k$ , היחס בין הרדיוסים של המעגלים החוסמים הוא $\displaystyle k$ , וגם היחס בין הרדיוסים של המעגלים החסומים:

\displaystyle \frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k

המעגל החוסם: המרכז $\displaystyle O$ והצלע $\displaystyle BC$ יוצרים משולש שווה שוקיים $\displaystyle BOC$ , שהזווית שלו ב- $\displaystyle O$ גדולה פי 2 מהזווית $\displaystyle A$ (או מהזווית המשלימה לה, כש- $\displaystyle A$ קהה). במשולשים דומים גם המשולשים שווי השוקיים האלה דומים, והבסיסים שלהם $\displaystyle BC$ ביחס $\displaystyle k$ – ולכן גם השוקיים, הרדיוסים.
המעגל החסום: המרכז $\displaystyle I$ והצלע $\displaystyle BC$ יוצרים משולש $\displaystyle BIC$ , שהזוויות שלו ב- $\displaystyle B$ וב- $\displaystyle C$ הן מחצית הזוויות של המשולש. המשולשים האלה דומים, והבסיסים שלהם ביחס $\displaystyle k$ – ולכן גם הגבהים שלהם, הרדיוסים $\displaystyle r$ , ביחס $\displaystyle k$ .

תרגיל 4

אורכי הצלעות של המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle 6$ , $\displaystyle 8$ ו- $\displaystyle 10$ .
המשולש $\displaystyle DEF$ דומה לו, והצלע הארוכה ביותר שלו היא $\displaystyle 15$ .

\displaystyle ABC

ישר זווית. חשבו את הרדיוס של המעגל החוסם אותו. (רמז: זווית שנשענת על קוטר.)

חשבו את הרדיוס של המעגל החוסם את

\displaystyle DEF

הרדיוס של המעגל החסום ב-

\displaystyle ABC

הוא

\displaystyle 2

. חשבו את הרדיוס של המעגל החסום ב-

\displaystyle DEF

תרגיל 5

$\displaystyle AB$ קוטר של המעגל, ו- $\displaystyle C$ על המעגל.
$\displaystyle CD\perp AB$ , ו- $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$ .
הוכיחו: $\displaystyle {CD\cdot CD}={AD\cdot DB}$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$