דלג לתוכן

יחסים במשולשים דומים

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 17 מתוך 26לימוד

יחסים במשולשים דומים

יחס הגבהים המתאימים

משפט: במשולשים דומים, היחס בין גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון.

נתון: △ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF; AH\displaystyle AH ו-DK\displaystyle DK הגבהים ל-BC\displaystyle BC ול-EF\displaystyle EF.
צריך להוכיח: AHDK=ABDE\displaystyle {\frac{AH}{DK}}={\frac{AB}{DE}}.

בהוכחה שלפניכם נמצא שני משולשים דומים קטנים יותר: ABH\displaystyle ABH ו-DEK\displaystyle DEK – בכל אחד מהם זווית ישרה, ו-∠B=∠E\displaystyle {\angle B}={\angle E}.

טענהנימוק
1△ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEFנתון
2∠ABH=∠DEK\displaystyle {\angle ABH}={\angle DEK}(1); זוויות מתאימות במשולשים דומים
3∠AHB=∠DKE=90∘\displaystyle {\angle AHB}={\angle DKE}={90^{\circ}}AH\displaystyle AH ו-DK\displaystyle DK גבהים
4△ABH∼△DEK\displaystyle \triangle ABH\sim\triangle DEK(2), (3); משפט הדמיון ז.ז
5AHDK=ABDE\displaystyle {\frac{AH}{DK}}={\frac{AB}{DE}}(4); צלעות מתאימות במשולשים דומים
תיכונים וחוצי זוויות

אותו דבר נכון לקווים המיוחדים האחרים: במשולשים דומים, היחס בין תיכונים מתאימים והיחס בין חוצי זוויות מתאימים שווים ליחס הדמיון.

  • תיכונים: AM\displaystyle AM ו-DN\displaystyle DN מקצים את המשולשים ABM\displaystyle ABM ו-DEN\displaystyle DEN; BMEN=BCEF=k\displaystyle {\frac{BM}{EN}}={\frac{BC}{EF}}={k}, ולכן הם דומים לפי צ.ז.צ (תרגיל 1).
  • חוצי זוויות: הם מקצים משולשים עם זוויות שוות – חצי מ-∠A\displaystyle \angle A וחצי מ-∠D\displaystyle \angle D, ו-∠B=∠E\displaystyle {\angle B}={\angle E} – דומים לפי ז.ז.
תרגיל 1

△ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF.
M\displaystyle M אמצע BC\displaystyle BC, ו-N\displaystyle N אמצע EF\displaystyle EF.
הוכיחו: AMDN=ABDE\displaystyle {\frac{AM}{DN}}={\frac{AB}{DE}}.

יחס ההיקפים

משפט: היחס בין ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון.

כל צלע של המשולש הראשון גדולה פי k\displaystyle k מהצלע המתאימה במשולש השני: a1=ka2\displaystyle {a_1}={ka_2}, b1=kb2\displaystyle {b_1}={kb_2}, c1=kc2\displaystyle {c_1}={kc_2}. לכן

P1=ka2+kb2+kc2=k(a2+b2+c2)=kP2P_1=ka_2+kb_2+kc_2=k(a_2+b_2+c_2)=kP_2
P1P2\displaystyle \frac{P_1}{P_2} =\displaystyle = k\displaystyle k
יחס השטחים

משפט: היחס בין השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

גם הבסיס וגם הגובה גדלים פי k\displaystyle k: BC=k⋅EF\displaystyle {BC}={k\cdot EF}, ולפי המשפט על הגבהים AH=k⋅DK\displaystyle {AH}={k\cdot DK}. לכן

SABCSDEF=12BC⋅AH12EF⋅DK=k⋅k=k2\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot AH}{\frac{1}{2}EF\cdot DK}=k\cdot k=k^{2}
S1S2\displaystyle \frac{S_1}{S_2} =\displaystyle = k2\displaystyle k^{2}

דוגמה: מכפילים פי 2\displaystyle 2 את הצלעות של משולש. גם ההיקף שלו גדל פי 2\displaystyle 2, והשטח שלו גדל פי 22=4\displaystyle {2^{2}}={4}.

מצולעים דומים

שני מצולעים הם דומים כשהזוויות שלהם שוות בהתאמה, והצלעות המתאימות שלהם באותו יחס k\displaystyle k.

  • אלכסונים מקודקודים מתאימים מחלקים אותם למשולשים דומים, באותו יחס k\displaystyle k;
  • לכן היחס בין ההיקפים שלהם הוא k\displaystyle k, והיחס בין השטחים שלהם הוא k2\displaystyle k^{2}.

דגם והדבר האמיתי דומים: תוכנית של דירה, תמונה והגדלה שלה, דגם של מטוס ומטוס.

תרגיל 2

△ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF.
AB=6\displaystyle {AB}={6} ו-DE=9\displaystyle {DE}={9}.
ההיקף של ABC\displaystyle ABC הוא 20\displaystyle 20, והשטח של DEF\displaystyle DEF הוא 45\displaystyle 45.

א
מצאו את ההיקף של DEF\displaystyle DEF.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    מצאו את השטח של ABC\displaystyle ABC.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      במשולש ABC\displaystyle ABC, D\displaystyle D על הצלע AB\displaystyle AB ו-E\displaystyle E על הצלע AC\displaystyle AC.
      DE∥BC\displaystyle DE\parallel BC ו-ADDB=23\displaystyle {\frac{AD}{DB}}={\frac{2}{3}}.
      השטח של המשולש ADE\displaystyle ADE הוא 8\displaystyle 8.

      א
      מצאו את השטח של המשולש ABC\displaystyle ABC. (רמז: מהו יחס הדמיון בין ADE\displaystyle ADE ל-ABC\displaystyle ABC?)

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב
        מצאו את השטח של הטרפז DBCE\displaystyle DBCE.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 4

          היחס בין השטחים של שני משולשים דומים הוא 9:25\displaystyle 9:25.
          ההיקף של הקטן מביניהם הוא 18\displaystyle 18.
          מצאו את ההיקף של הגדול.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 5

            רוחב של תמונה 10\displaystyle 10 ס"מ, והגובה שלה 15\displaystyle 15 ס"מ.
            מגדילים אותה לתמונה דומה, שהשטח שלה גדול פי 4\displaystyle 4.

            א
            מצאו את הרוחב של התמונה המוגדלת, בס"מ.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב
              מצאו את ההיקף שלה, בס"מ.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה