משפטי הדמיון

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 16 מתוך 26לימוד

משפטי הדמיון

משולשים דומים

שני משולשים הם דומים כשהזוויות שלהם שוות בהתאמה, והצלעות המתאימות שלהם באותו יחס – יחס הדמיון $\displaystyle k$ .

$\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ אומר איזה קודקוד מתאים לאיזה: $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle D$ , $\displaystyle B$ ל- $\displaystyle E$ , $\displaystyle C$ ל- $\displaystyle F$ ;
לכן $\displaystyle {\angle A}={\angle D}$ , $\displaystyle {\angle B}={\angle E}$ , $\displaystyle {\angle C}={\angle F}$ , וגם

\displaystyle \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k

צלעות מתאימות מונחות מול זוויות שוות.

משפט הדמיון ז.ז

משפט הדמיון ז.ז: אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש אחר, המשולשים דומים.

נתון: $\displaystyle {\angle A}={\angle D}$ ו- $\displaystyle {\angle B}={\angle E}$ במשולשים $\displaystyle ABC$ ו- $\displaystyle DEF$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle \triangle DEF\sim\triangle ABC$ .

בהוכחה שלפניכם נשים העתק של המשולש $\displaystyle DEF$ בקודקוד $\displaystyle A$ : $\displaystyle G$ על $\displaystyle AB$ כך ש- $\displaystyle {AG}={DE}$ , ו- $\displaystyle H$ על $\displaystyle AC$ כך ש- $\displaystyle {AH}={DF}$ . בהעתק $\displaystyle GH\parallel BC$ , ומשפט תאלס המורחב נותן את היחסים.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AG}={DE}$	בנייה
2	$\displaystyle {AH}={DF}$	בנייה
3	$\displaystyle {\angle GAH}={\angle EDF}$	נתון
4	$\displaystyle \triangle AGH\cong\triangle DEF$	(1), (2), (3); משפט החפיפה צ.ז.צ
5	$\displaystyle {\angle AGH}={\angle DEF}$	(4); זוויות מתאימות במשולשים חופפים
6	$\displaystyle {\angle AGH}={\angle ABC}$	(5); נתון $\displaystyle {\angle DEF}={\angle ABC}$
7	$\displaystyle GH\parallel BC$	(6); זוויות מתאימות שוות – הישרים מקבילים
8	$\displaystyle {\frac{AG}{AB}}={\frac{AH}{AC}}={\frac{GH}{BC}}$	(7); משפט תאלס המורחב
9	$\displaystyle {\frac{DE}{AB}}={\frac{DF}{AC}}={\frac{EF}{BC}}$	(1), (2), (8); $\displaystyle {GH}={EF}$ לפי (4)
10	$\displaystyle {\angle ACB}={\angle DFE}$	נתון; סכום הזוויות במשולש $\displaystyle 180^{\circ}$
11	$\displaystyle \triangle DEF\sim\triangle ABC$	(9), (10) והנתונים; הגדרת משולשים דומים

משפטי הדמיון צ.ז.צ ו-צ.צ.צ

ההוכחות שלהם דומות להוכחה של ז.ז: העתק של המשולש הקטן בקודקוד של הגדול, והמשפט ההפוך למשפט תאלס.

עוד שני משפטים מוכיחים שמשולשים דומים:

צ.ז.צ: אם שתי צלעות במשולש אחד פרופורציוניות לשתי צלעות במשולש אחר, והזוויות שביניהן שוות, המשולשים דומים;
צ.צ.צ: אם שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציוניות לשלוש הצלעות של משולש אחר, המשולשים דומים.

בהוכחה בעזרת דמיון:

מוצאים שני משולשים שהצלעות שלהם הן הקטעים שבטענה;
מתאימים את הקודקודים לפי הזוויות השוות, וכותבים את הדמיון בסדר הזה;
קוראים מהדמיון את הפרופורציה – או את הזוויות השוות.

דוגמה: זווית משותפת

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle {\angle AED}={\angle ABC}$ .
$\displaystyle {AD}={4}$ , $\displaystyle {AE}={6}$ , $\displaystyle {AB}={12}$ .
מצאו את $\displaystyle AC$ .

$\displaystyle \angle A$ משותפת, ו- $\displaystyle {\angle AED}={\angle ABC}$ , ולכן $\displaystyle \triangle AED\sim\triangle ABC$ (ז.ז);
$\displaystyle E$ מתאים ל- $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle D$ ל- $\displaystyle C$ , ולכן $\displaystyle {\frac{AE}{AB}}={\frac{AD}{AC}}$ ;
$\displaystyle {\frac{6}{12}}={\frac{4}{AC}}$ , ולכן $\displaystyle {AC}={8}$ .

כאן $\displaystyle DE$ אינו מקביל ל- $\displaystyle BC$ : הזוויות השוות הן ב- $\displaystyle E$ וב- $\displaystyle B$ , ולא ב- $\displaystyle D$ וב- $\displaystyle B$ .

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle {\angle BAC}={90^{\circ}}$ .
$\displaystyle AD$ הגובה ליתר $\displaystyle BC$ .
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ABD\sim\triangle CAD$ .

תרגיל 2

באותו משולש, הוכיחו: $\displaystyle {AD\cdot AD}={BD\cdot DC}$ .
(רמז: תרגיל 1.)

תרגיל 3

תוצאה כמו

\displaystyle {AD^{2}}={BD\cdot DC}

מוכיחים מהדמיון בכל פעם שהוכחה משתמשת בה.

במשולש ישר זווית, הגובה ליתר מחלק אותו לקטעים של $\displaystyle 4$ ו- $\displaystyle 9$ .
מצאו את אורך הגובה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 4

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle {AD}={6}$ , $\displaystyle {AE}={5}$ , $\displaystyle {AB}={10}$ ו- $\displaystyle {AC}={12}$ .
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ADE\sim\triangle ACB$ .

תרגיל 5

האם המשולשים דומים? אם כן – מהו יחס הדמיון?

הצלעות של משולש אחד הן $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ , $\displaystyle 8$ , ושל השני $\displaystyle 6$ , $\displaystyle 9$ , $\displaystyle 12$ .
הצלעות של משולש אחד הן $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ , $\displaystyle 8$ , ושל השני $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 7$ , $\displaystyle 9$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$