המעגל החוסם, המעגל החסום ומפגש הגבהים

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 10 מתוך 26לימוד

המעגל החוסם, המעגל החסום ומפגש הגבהים

האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

משפט: שלושת האנכים האמצעיים לצלעות של משולש נפגשים בנקודה אחת. הנקודה נמצאת במרחקים שווים משלושת הקודקודים, ולכן היא המרכז של מעגל שעובר דרכם – המעגל החוסם את המשולש.

נתון: $\displaystyle O$ על האנך האמצעי ל- $\displaystyle AB$ (שעובר דרך האמצע שלו, $\displaystyle M$ ) ועל האנך האמצעי ל- $\displaystyle BC$ (שעובר דרך האמצע שלו, $\displaystyle N$ ); $\displaystyle K$ אמצע $\displaystyle AC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle OK\perp AC$ – כלומר, $\displaystyle O$ גם על האנך האמצעי השלישי.

בהוכחה שלפניכם נשתמש באנך האמצעי כמקום גאומטרי, בשני הכיוונים שלו:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {OA}={OB}$	$\displaystyle O$ על האנך האמצעי ל- $\displaystyle AB$
2	$\displaystyle {OB}={OC}$	$\displaystyle O$ על האנך האמצעי ל- $\displaystyle BC$
3	$\displaystyle {OA}={OC}$	(1), (2)
4	$\displaystyle OK\perp AC$	(3); נקודה במרחקים שווים מ- $\displaystyle A$ ומ- $\displaystyle C$ נמצאת על האנך האמצעי ל- $\displaystyle AC$

לכן אפשר לחסום כל משולש במעגל, ודרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל – אחד ויחיד: המרכז שלו חייב להיות מפגש האנכים האמצעיים.

איפה נמצא מרכז המעגל החוסם

מרכז המעגל החוסם תלוי בזווית הגדולה של המשולש:

משולש חד זווית – בתוך המשולש;
משולש ישר זווית – באמצע היתר: התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן אמצע היתר נמצא במרחקים שווים משלושת הקודקודים;
משולש קהה זווית – מחוץ למשולש, מעבר לצלע הארוכה.

תרגיל 1

אורכי הניצבים של משולש ישר זווית הם $\displaystyle 6$ ו- $\displaystyle 8$ .
חשבו את הרדיוס של המעגל החוסם אותו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הקודקודים של המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(0,0)$ , $\displaystyle B(8,0)$ ו- $\displaystyle C(2,6)$ .

האנך האמצעי ל- $\displaystyle AB$ הוא $\displaystyle {x}={4}$ , והאנך האמצעי ל- $\displaystyle AC$ הוא $\displaystyle {y}={-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}}$ .
מצאו את המרכז $\displaystyle O$ של המעגל החוסם.

חשבו את הרדיוס

\displaystyle {R}={OA}

, בצורה הפשוטה ביותר.

כתבו את המשוואה של המעגל החוסם.

\displaystyle A=(0,0)

\displaystyle B=(8,0)

\displaystyle C=(2,6)

חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת

משפט: שלושת חוצי הזוויות של משולש נפגשים בנקודה אחת. הנקודה נמצאת במרחקים שווים משלוש הצלעות, ולכן היא המרכז של מעגל שנוגע בשלוש הצלעות – המעגל החסום במשולש.

למה, בעזרת חוצה הזווית כמקום גאומטרי:

$\displaystyle I$ – נקודת החיתוך של חוצי הזוויות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ ;
$\displaystyle I$ על חוצה הזווית $\displaystyle A$ , ולכן במרחקים שווים מ- $\displaystyle AB$ ומ- $\displaystyle AC$ ; היא על חוצה הזווית $\displaystyle B$ , ולכן במרחקים שווים מ- $\displaystyle AB$ ומ- $\displaystyle BC$ ;
לכן היא במרחקים שווים מ- $\displaystyle AC$ ומ- $\displaystyle BC$ – והיא על חוצה הזווית $\displaystyle C$ .

הרדיוס של המעגל החסום הוא המרחק המשותף הזה, $\displaystyle r$ : המעגל שמרכזו $\displaystyle I$ ורדיוסו $\displaystyle r$ פוגש כל צלע בעקב האנך מ- $\displaystyle I$ , וכל נקודה אחרת של הצלע רחוקה יותר מ- $\displaystyle I$ .

תרגיל 3

$\displaystyle I$ מרכז המעגל החסום במשולש $\displaystyle ABC$ .
$\displaystyle {\angle B}={70^{\circ}}$ ו- $\displaystyle {\angle C}={50^{\circ}}$ .
חשבו את $\displaystyle \angle BIC$ .

תרגיל 4

במשולש $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle BI$ חוצה את הזווית $\displaystyle B$ , ו- $\displaystyle CI$ חוצה את הזווית $\displaystyle C$ .
הוכיחו: $\displaystyle AI$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ – כתבו את ההוכחה שלמעלה בטענות ונימוקים.
(רמז: העבירו את האנכים מ- $\displaystyle I$ לשלוש הצלעות.)

הגבהים נפגשים בנקודה אחת

משפט: שלושת הגבהים של משולש – או הישרים שמכילים אותם – נפגשים בנקודה אחת.

במשולש חד זווית הנקודה בתוכו; במשולש ישר זווית היא קודקוד הזווית הישרה; במשולש קהה זווית היא מחוצה לו, במפגש הישרים של הגבהים.
ההוכחה מעבר לקורס; תרגיל 5 מראה את זה במשולש אחד, במערכת צירים.

בניות בסרגל ובמחוגה

המקומות הגאומטריים נותנים את הבניות:

האנך האמצעי ל- $\displaystyle AB$ : שני מעגלים עם אותו רדיוס, שמרכזיהם $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ , נחתכים בשתי נקודות – כל אחת במרחקים שווים מ- $\displaystyle A$ ומ- $\displaystyle B$ . הישר שעובר דרכן הוא האנך האמצעי.
חוצה זווית שקודקודה $\displaystyle A$ : מעגל שמרכזו $\displaystyle A$ חותך את השוקיים בנקודות $\displaystyle P$ ו- $\displaystyle Q$ ; שני מעגלים עם אותו רדיוס שמרכזיהם $\displaystyle P$ ו- $\displaystyle Q$ נחתכים בנקודה $\displaystyle S$ . $\displaystyle \triangle APS\cong\triangle AQS$ (צ.צ.צ), ולכן $\displaystyle AS$ חוצה את הזווית.
המעגל החוסם: האנכים האמצעיים לשתי צלעות נותנים את המרכז; המעגל החסום: חוצי שתי זוויות נותנים את המרכז, והאנך ממנו לצלע נותן את הרדיוס.

תרגיל 5

הקודקודים של המשולש $\displaystyle ABC$ הם $\displaystyle A(0,0)$ , $\displaystyle B(6,0)$ ו- $\displaystyle C(2,4)$ .

הגובה מ- $\displaystyle C$ נמצא על הישר $\displaystyle {x}={2}$ , והגובה מ- $\displaystyle A$ על הישר $\displaystyle {y}={x}$ .
מצאו את הנקודה $\displaystyle H$ שבה הם נפגשים.

כתבו את המשוואה של הישר שעליו הגובה מ- $\displaystyle B$ , והראו שגם הוא עובר דרך $\displaystyle H$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$