משיק למעגל

גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 22 מתוך 26לימוד

משיק למעגל

המשיק והרדיוס

משיק למעגל הוא ישר שיש לו נקודה משותפת אחת בדיוק עם המעגל, נקודת ההשקה. ישר שחותך את המעגל בשתי נקודות הוא חותך.

משפט: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

ההוכחה בדרך השלילה. נניח שהמשיק ב- $\displaystyle A$ אינו מאונך ל- $\displaystyle OA$ :

אז האנך מ- $\displaystyle O$ אל המשיק פוגש אותו בנקודה אחרת, $\displaystyle M$ , ו- $\displaystyle OM<OA$ – ניצב קצר מהיתר;
הנקודה $\displaystyle A'$ על המשיק, מעבר ל- $\displaystyle M$ , שבה $\displaystyle {MA'}={MA}$ , נמצאת גם היא במרחק $\displaystyle OA$ מ- $\displaystyle O$ : נקודה משותפת שנייה – ולמשיק אין כזאת.

המשפט ההפוך: ישר שמאונך לרדיוס בקצה שלו שעל המעגל הוא משיק: כל נקודה אחרת שלו היא קצה של יתר שיוצא מ- $\displaystyle O$ , רחוקה יותר מהרדיוס.

שני משיקים מאותה נקודה

משפט: שני משיקים למעגל שיוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה – הקטעים מהנקודה עד נקודות ההשקה.

נתון: $\displaystyle PA$ ו- $\displaystyle PB$ משיקים למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {PA}={PB}$ .

בהוכחה שלפניכם נעביר את $\displaystyle OP$ ונראה שהמשולשים ישרי הזווית $\displaystyle OAP$ ו- $\displaystyle OBP$ חופפים:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {OA}={OB}$	רדיוסים במעגל
2	$\displaystyle {\angle OAP}={\angle OBP}={90^{\circ}}$	המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
3	$\displaystyle {OP}={OP}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle OAP\cong\triangle OBP$	(1), (2), (3); משפט החפיפה צ.צ.ז – שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
5	$\displaystyle {PA}={PB}$	(4); צלעות מתאימות במשולשים חופפים

מאותה חפיפה: הקטע שמחבר את מרכז המעגל עם הנקודה שממנה יוצאים שני המשיקים חוצה את הזווית שבין המשיקים (תרגיל 2).

תרגיל 1

$\displaystyle PA$ משיק למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , בנקודה $\displaystyle A$ .
הרדיוס הוא $\displaystyle 5$ , ו- $\displaystyle {OP}={13}$ .

חשבו את

\displaystyle PA

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle PB

משיק שני מ-

\displaystyle P

, ו-

\displaystyle {\angle APB}={50^{\circ}}

. חשבו את

\displaystyle \angle AOB

תרגיל 2

$\displaystyle PA$ ו- $\displaystyle PB$ משיקים למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .
הוכיחו: $\displaystyle {\angle APO}={\angle BPO}$ .

הזווית בין משיק למיתר

משפט: הזווית הכלואה בין משיק למיתר שיוצאים מאותה נקודה על המעגל שווה לזווית ההיקפית שנשענת על המיתר מצדו השני.

\displaystyle \angle BAT

\displaystyle =

\displaystyle \angle ACB

נתון: $\displaystyle AT$ משיק למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ בנקודה $\displaystyle A$ ; $\displaystyle AB$ מיתר; $\displaystyle C$ על המעגל, בצד השני של $\displaystyle AB$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {\angle BAT}={\angle ACB}$ .

בהוכחה שלפניכם נעביר את הקוטר $\displaystyle AD$ . נראה ששתי הזוויות משלימות את הזווית $\displaystyle DAB$ ל- $\displaystyle 90^{\circ}$ :

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {\angle DAT}={90^{\circ}}$	המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
2	$\displaystyle {\angle ABD}={90^{\circ}}$	זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AD$
3	$\displaystyle {\angle BAT}={90^{\circ}-\angle DAB}$	(1)
4	$\displaystyle {\angle ADB}={90^{\circ}-\angle DAB}$	(2); סכום הזוויות במשולש $\displaystyle ABD$
5	$\displaystyle {\angle ADB}={\angle ACB}$	זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת $\displaystyle AB$
6	$\displaystyle {\angle BAT}={\angle ACB}$	(3), (4), (5)

תרגיל 3

$\displaystyle AT$ משיק למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ בנקודה $\displaystyle A$ , ו- $\displaystyle AB$ מיתר.
$\displaystyle {\angle BAT}={40^{\circ}}$ , ו- $\displaystyle C$ על המעגל, בצד השני של $\displaystyle AB$ .

חשבו את

\displaystyle \angle ACB

חשבו את הזווית המרכזית

\displaystyle \angle AOB

תרגיל 4

הישרים $\displaystyle AP$ ו- $\displaystyle BQ$ משיקים למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .
$\displaystyle AP\parallel BQ$ .
הוכיחו: $\displaystyle {\angle AOB}={180^{\circ}}$ – הקטע $\displaystyle AB$ הוא קוטר.

תרגיל 5

תארו איך בונים בסרגל ובמחוגה, והסבירו למה כל בנייה עובדת:

את המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle A$ שעליו;
את שני המשיקים למעגל מנקודה $\displaystyle P$ שמחוץ לו. (רמז: המעגל שהקוטר שלו $\displaystyle OP$ , וזווית היקפית שנשענת על קוטר.)

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$